2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение12.11.2006, 16:47 


26/09/05
530
Brukvalub я думал,что это уже известно,поэтому не переспрашивал ))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 15:02 


07/10/06
140
С теми задачами разобралась!
А как вот для таких функционалов найти норму.Вот здесь вообще почему-то координаты или значения функций в точках стоят:

$ F:C\left[ { - 1,1} \right] \to R,F(y) = y( - 1) - 2y(0) + y(1),\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{[ - 1,1]} \left| {y(t)} \right| $

$ F:l_1  \to R,F(x) = x_1  - x_2 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty  {\left| {x_k } \right|}  $

$  F:l_2  \to R,F(x) = x_1 ,\left\| x \right\| = \sqrt {\sum\nolimits_{k = 1}^\infty  {x_k^2 } }  $

$ F:l_1  \to R,F(x) = x_1 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty  {\left| {x_k } \right|}  $

$ F:l_1  \to R,F(x) = x_1  - x_2 ,\left\| x \right\| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty  {\left| {x_k } \right|}  $

У меня есть подозрения,что в первом примере ответ будет 4.

// нарезал мат. текст на строки. Обратите внимание, \\ не работает как разделитель строк. Набирайте формулы (строки) отдельно. нг

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 19:22 


07/10/06
140
Ну подскажите мне :((

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ulya писал(а):
...Есть подозрения,что в первом примере ответ будет 4.

Вы правильно подозреваете. Теперь выскажите Ваши подозрения по остальным задачам.Кстати, вторую задачу мы с Вами уже обсуждали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 22:00 


07/10/06
140
Для первого примера будет ответ 4,т.к. $\left| {F(y)} \right| \le \left| {y( - 1)} \right| + 2\left| {y(0)} \right| + \left| {y(1)} \right| \le 4\left\| {y(t)} \right\|$.
Для второго,последнего: $\left| {x_1  - x_2 } \right| \le \left| {x_1 } \right| + \left| {x_2 } \right|$...а дальше не знаю :(
Для третьего,четвертого: $\left| {x_1 } \right| \le $ аналогично не знаю как оценить можно через норму (

P.S:да вторую задачу я так и не поняла ((

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы и первую-то задачу решили не до конца. После оценки нормы оператора сверху нужно еще доказать (например, предъявлением точки в прообразе, или как-либо еще), что эта оценка - точная, то есть, что ее уже нельзя еще улучшить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2006, 13:53 


14/11/06
34
$$
 F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 { y(t^2 )dt } ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ 
$$

Вот в таком задании могу ли я считать, что
$$
\int_0^1 { |y(t^2)|dt \le} \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} |y(t)|
$$

Помнится это доказывали для просто |y(t)| или что-то подобное.. Да и здравый смысл подсказывает что это так (если нарисовать непрерывную на [0,1] функцию, провести ее максимум и помножить на длину отрезка [0,1], за пределы которого $$ t^2 $$ не выходит, то вроде так и получится).
Если это так.. то как это можно обосновать, на основе того, что это верно для просто |y(t)|?
Если да, то думаю верно, что норма сего функционала меньше или равна единице и неулучшаемость этой оценки вполне подтверждается вектором y(t) = 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.11.2006, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
obezyan писал(а):
$$
 F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 { y(t^2 )dt } ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ 
$$

Вот в таком задании могу ли я считать, что
$$
\int_0^1 { |y(t^2)|dt \le} \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} |y(t)|
$$

Помнится это доказывали для просто |y(t)| или что-то подобное.. Да и здравый смысл подсказывает что это так (если нарисовать непрерывную на [0,1] функцию, провести ее максимум и помножить на длину отрезка [0,1], за пределы которого $$ t^2 $$ не выходит, то вроде так и получится).
Если это так.. то как это можно обосновать, на основе того, что это верно для просто |y(t)|?
Если да, то думаю верно, что норма сего функционала меньше или равна единице и неулучшаемость этой оценки вполне подтверждается вектором y(t) = 1.

$$\int\limits_0^1|y(t^2)|dt\leqslant\int\limits_0^1\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|dt=\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|=\max_{t\in[0;1]}|y(t)|.$$
Я ответил на Ваш вопрос?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 02:09 


14/11/06
34
RIP писал(а):
$$\int\limits_0^1|y(t^2)|dt\leqslant\int\limits_0^1\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|dt=\max_{t\in[0;1]}|y(t^2)|=\max_{t\in[0;1]}|y(t)|.$$
Я ответил на Ваш вопрос?


Думаю да:). Для преподавателя наверное такой ответ пройдет, для меня это понятно на уровне здравого смысла, хотя аналитика и вызывает некоторые сомнения:).
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2006, 14:58 


14/11/06
34
Приветствую.
Снова вынужден обратиться в эту тему, ибо тут как раз решались уже подобные задачи, а я сам зашел в тупик..
Доказать, что если $f(x)$ непрерывна в метрическом пространстве, то $A = \left\{ {x: f(x) \le 0} \right\}$ - замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2006, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Множество точек метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а это свойство для рассматриваемого вами множества очевидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 13:03 


14/11/06
34
ну да, это я понял еще из начала темы - надо взять некоторую сходящуюся последовательность $x_n$, и доказать, что $x=\lim\limits_{n \to \infty}{x_n} \in X$, т.е. что предельная точка входит в множество, откуда мы брали последовательность.
Понятно так же, что для этой последовательности, для каждого $x_n$ существует $y_n = f(x_n)$, при этом $y_n \le 0$.
Даже если предположить, что существует $\lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y$ (хотя тоже это еще предположение надо как-то доказать, но думаю, это следует из того, что множество $(-\infty; 0]$ - ограниченно), то не понятно, как из этого прийти к тому, что и последовательнсоть $ x_n $ тоже сходится, оставаясь при этом в множестве $ A $:(.
Или я даже начало доказательства выбрал неверное?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
obezyan писал(а):
ну да, это я понял еще из начала темы - надо взять некоторую сходящуюся последовательность $x_n$, и доказать, что $x=\lim\limits_{n \to \infty}{x_n} \in X$, т.е. что предельная точка входит в множество, откуда мы брали последовательность.
Понятно так же, что для этой последовательности, для каждого $x_n$ существует $y_n = f(x_n)$, при этом $y_n \le 0$.
Даже если предположить, что существует $\lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y$ (хотя тоже это еще предположение надо как-то доказать, но думаю, это следует из того, что множество $(-\infty; 0]$ - ограниченно),


Вероятно, это следует из непрерывности функции $f$. Каким способом - зависит от того, каким определением непрерывной функции Вы пользуетесь.

obezyan писал(а):
то не понятно, как из этого прийти к тому, что и последовательнсоть $ x_n $ тоже сходится,


Вы же её выбрали сходящейся к некоторой точке $x\in X$.

obezyan писал(а):
оставаясь при этом в множестве $ A $


Посмотрите, чему равно $f(x)$, и сравните с определением множества $A$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 15:09 


14/11/06
34
Цитата:
Вероятно, это следует из непрерывности функции $f$. Каким способом - зависит от того, каким определением непрерывной функции Вы пользуетесь.


Для любого $ x_0 $, любой $ e > 0 $ существует $ d(x_0,e)>0 $, т.ч. для любого $ x $ из $ |x-x_0|<d $ следует, что $ |f(x) - f(x_0)|<e $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.12.2006, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Давайте чуть изменим обозначения. Выберем произвольное $\varepsilon>0$. Поскольку функция $f$ непрерывна в точке $x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$, найдётся такое $\delta>0$, что если $\rho(x,y)<\delta$, то $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$ (здесь $\rho(x,y)$ - метрика Вашего метрического пространства).

Как дополнить это рассуждение, чтобы доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group