Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто

[obezyan]

Someone писал(а):

Как дополнить это рассуждение, чтобы доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$?

Это конечно очень интересно, но думая над этим я пришел кое к чему другому:).
Пусть есть сходящаяся $ x_n $. Понятно, что вся последовательность лежит в $A$. А надо доказать, что $ \lim\limits_{n \to \infty}{x_n} = x $ тоже лежит в А. Но что такое А? Это множество точек K, таких что, $ f(K) \le 0$. Т.е. фактически надо доказать, что $ f(x) = f(\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}) \le 0$.
Известно, что: $ f(x) = f(\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}) = \lim\limits_{n \to \infty}{f(x_n)} $ (последнее равеснтво я так понимаю возможно в силу непрерывности).
А теперь уже как раз таки и надо дополнить то рассуждение, чтобы доказать, что: $ \lim\limits_{n \to \infty}{f(x_n)} = \lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y \le 0 $. Для этого, как я понимаю и надо воспользоваться этим определением непрерывности.
Хм.. наверное проще было бы воспользоваться каким-нибудь определением через пределы:).
Но попробую воспользоваться тем что есть..
Оставим $ x $ каким оно и было (предел $ x_n $). Начнем подбирать $\delta$. Подбирая каждый раз новое $\delta$, мы подоберем номер $N$, такой, чтобы $\rho(x,x_N)<\delta$. И мы сможем подобрать $\delta$, а, соответственно и $N$ так, чтобы $|f(x_N)-f(x)|<\varepsilon$. Делая $\varepsilon$ меньше, приближая его к 0, нам придется уменьшать $\delta$, увеличивая тем самым $N$. Когда $\varepsilon$ будет стремиться к 0, $N$ придется устремить к $\infty$. Но если $\varepsilon=0$, то $f(x_N) = f(x)$. А сделав $\varepsilon=0$ придется сделать $N$ стремящейся к $\infty$. Т.е. $f(x) = \lim\limits_{N \to \infty}{f(x_N)} $.
Я верно рассуждаю?

[bot]

obezyan писал(а):

А теперь уже как раз таки и надо дополнить то рассуждение, чтобы доказать, что: $ \lim\limits_{n \to \infty}{f(x_n)} = \lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = y \le 0 $. Для этого, как я понимаю и надо воспользоваться этим определением непрерывности.

Вы не очень внимательны. Непрерывностью-то Вы уже воспользовались. Теперь надо посмотреть на последовательность $y_n$. Вы ведь уже имеете, чтто она сходится? А её члены какому неравенству удовлетворяют? Какой вывод отсюда следует для предела этой последовательности?
Не об этом ли Вам уже писали Brukvalub и Someone?

[Someone]

Как-то это нехорошо. И $\varepsilon$ у Вас к чему-то стремиться начало. $\varepsilon$ - это просто произвольное положительное число. Так его и надо воспринимать.

В предыдущем фрагменте мы по заданному $\varepsilon>0$ подобрали такое $\delta>0$, что из неравенства $\rho(x,y)<\delta$ следует неравенство $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$.
А доказать нам нужно, что $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\leqslant 0$ (последнее неравенство следует из свойств пределов). Для этого неплохо бы вспомнить определение предела последовательности:
$l=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$, если для каждого $\varepsilon>0$ можно найти такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|a_n-l|<\varepsilon$.
Поскольку $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ и $\delta>0$ (имеется в виду то самое $\delta$, которое мы нашли раньше), по определению предела последовательности найдётся такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется $\rho(x_n,x)<\delta$. Вот это самое $N$ нам годится:
если $n>N$, то $\rho(x_n,x)<\delta$ и, следовательно, $|f(x_n)-f(x)|<\varepsilon$.
Таким образом, мы для произвольно заданного $\varepsilon>0$ нашли такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется $|f(x_n)-f(x)|<\varepsilon$. Это - по определению предела последовательности - и означает, что $f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$.
Теперь, как уже отмечалось, из свойств пределов следует, что $f(x)\leqslant 0$, так как для всех $n\in\mathbb N$ выполняется $f(x_n)\leqslant 0$ (поскольку $x_n\in A$). Следовательно, $x\in A$ по определению $A$.

P.S. Рассуждения такого рода начинающими воспринимаются с трудом. Вам придётся приложить определённые усилия, чтобы разобраться.

[obezyan]

Someone писал(а):

P.S. Рассуждения такого рода начинающими воспринимаются с трудом. Вам придётся приложить определённые усилия, чтобы разобраться.

Аааа.. понял. Вот как раз таки понятия предела последовательности мне и нехватало.
Всем спасибо, разобрался.
Да тут меня нельзя назвать классическим начинающим, 4й курс таки:). Скорее это просто отсутствие таланта:).