Алгебры и семимерная сфера

[paha]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #396386 писал(а):

А групповая операция какая?

умножение двух линий тока -- подключение их к штепселю, засунутому в розетку

[Munin]

(Оффтоп)

Это, скорее, композиция...

[paha]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #396443 писал(а):

Это, скорее, композиция...

Любая группа является группой преобразований:)

[Munin]

(Оффтоп)

Я хотел сказать, что не любые две линии тока могут быть таким образом перемножены.

[bayak]

paha в сообщении #396339 писал(а):

...Они образуют алгебру Ли (бесконечномерную) по отношению к указанной операции.

Вы упорно не хотите замечать фразу *линейные векторные поля*. Линии тока (интегральные линии) такого векторного поля представляют собой большие окружности семимерной сферы.

paha в сообщении #396339 писал(а):

но алгебру Ли не образуют... хотя бы потому, что алгебра обязана ноль содержать

Единичность векторного поля "непотребна" - требуется его линейность.

-- Сб янв 08, 2011 11:00:32 --

Munin в сообщении #396386 писал(а):

А групповая операция какая?

Линии тока суть траектории больших окружностей, которые заметаются каждой точкой семимерной сферы при её вращении, поэтому здесь групповая операция задаётся композицией вращений.

[paha]

(Оффтоп)

bayak в сообщении #396606 писал(а):

Линии тока (интегральные линии) такого векторного поля представляют собой большие окружности семимерной сферы.

А у нулевого векторного поля какие "линии тока"?



И Вы можете описать эту алгебру Ли? Математически

bayak в сообщении #395005 писал(а):

групповые структуры, которые получаются из алгебры линейных векторных полей этой сферы

И что это за групповые структуры?

del

[Munin]

bayak в сообщении #396606 писал(а):

Линии тока суть траектории больших окружностей, которые заметаются каждой точкой семимерной сферы при её вращении, поэтому здесь групповая операция задаётся композицией вращений.

Простите, я могу себе представить композицию вращений. Конкретных, на конкретные углы. А вот композицию заметаемых линий - не могу. Так что ответьте более конкретно, пожалуйста.

И надеюсь, вы всё-таки не имели в виду то, что написали - "линии тока суть траектории больших окружностей" - означает, что большие окружности как-то движутся, но такие траектории будут не линии, а 2-мерные листы.

[paha]

Munin в сообщении #396915 писал(а):

И надеюсь, вы всё-таки не имели в виду то, что написали - "линии тока суть траектории больших окружностей" - означает, что большие окружности как-то движутся, но такие траектории будут не линии, а 2-мерные листы.

Семимерная сфера расслаивается на трехмерные над четырехмерной

[bayak]

paha в сообщении #396618 писал(а):

А у нулевого векторного поля какие "линии тока"?

Похоже на шутку, но требует ответа. Итак, линейные векторные поля семимерной сферы представляют собой касательные векторные поля постоянные по направлению (заданному большими окружностями сферы) и величине (заданной евклидовой длинной вектора в пространстве вложения сферы). Следовательно у нулевого векторного поля, заданного вектором нулевой длины, нет направления.

paha в сообщении #396618 писал(а):

И Вы можете описать эту алгебру Ли? Математически

Не пробовал, но проверял на трёхмерной сфере - работает. Впрочем, у меня есть работа, в которой математически описана связанная с конструированием векторных полей сфер группа зеркальных симметрий, и если нужно, то из группы зеркальных симметрий можно построить групповую алгебру (алгебру Клиффорда), а из этой алгебры получить алгебру Ли. Но это абстрактно, а представление алгебры, наверное проще сделать чем описать.

-- Вс янв 09, 2011 13:05:10 --

paha в сообщении #396618 писал(а):

И что это за групповые структуры?

del

Например, группа обратимых элементов алгебры.

-- Вс янв 09, 2011 13:13:31 --

Munin в сообщении #396915 писал(а):

Простите, я могу себе представить композицию вращений. Конкретных, на конкретные углы. А вот композицию заметаемых линий - не могу. Так что ответьте более конкретно, пожалуйста.

И надеюсь, вы всё-таки не имели в виду то, что написали - "линии тока суть траектории больших окружностей" - означает, что большие окружности как-то движутся, но такие траектории будут не линии, а 2-мерные листы.

Да нет, траектории не листы, а окружности. Просто вы под вращением понимаете вращение в одной плоскости, а здесь сразу в четырёх плокостях восьмимерного пространства вложения семимерной сферы.

[paha]

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Следовательно у нулевого векторного поля, заданного вектором нулевой длины, нет направления.

любая алгебра должна содержать ноль... не прада ли?

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Например, группа обратимых элементов алгебры.

тогда алгебра должна быть ассоциативной

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Не пробовал, но проверял на трёхмерной сфере - работает.

Дорогой bayak, на $S^7$ невозможно ввести структуру группы Ли... это стало ясно еще в прошлом веке. Так о чем Вы?
Если у Вас есть конкретный пример -- приведите его

-- Вс янв 09, 2011 12:17:52 --

bayak в сообщении #397109 писал(а):

восьмимерного пространства вложения семимерной сферы

пространство вложений бесконечномерно... или у Вас своя терминология и Вы имеете ввиду вложения определенного типа?

[bayak]

paha в сообщении #397113 писал(а):

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Следовательно у нулевого векторного поля, заданного вектором нулевой длины, нет направления.

любая алгебра должна содержать ноль... не прада ли?

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Например, группа обратимых элементов алгебры.

тогда алгебра должна быть ассоциативной

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Не пробовал, но проверял на трёхмерной сфере - работает.

Дорогой bayak, на $S^7$ невозможно ввести структуру группы Ли... это стало ясно еще в прошлом веке. Так о чем Вы?
Если у Вас есть конкретный пример -- приведите его

-- Вс янв 09, 2011 12:17:52 --

bayak в сообщении #397109 писал(а):

восьмимерного пространства вложения семимерной сферы

пространство вложений бесконечномерно... или у Вас своя терминология и Вы имеете ввиду вложения определенного типа?

Я и не пытаюсь ввести её на $S^7$.
Определённого - евклидова.

[paha]

bayak в сообщении #397119 писал(а):

Определённого - евклидова.

что Вы понимаете под "евклидовым вложением $S^7\to\mathbb{R}^8$"? И что вообще хотите сказать?

-- Вс янв 09, 2011 12:56:41 --

bayak в сообщении #397119 писал(а):

Я и не пытаюсь ввести её на $S^7$.

тогда к чему всё, что Вы пишете в этой теме?

-- Вс янв 09, 2011 12:58:11 --

не Вы ли написали

bayak в сообщении #395005 писал(а):

А почему в качестве структуры группы на 7-мерной сфере не использовать групповые структуры, которые получаются из алгебры линейных векторных полей этой сферы?

а?

[Munin]

bayak в сообщении #397109 писал(а):

Просто вы под вращением понимаете вращение в одной плоскости, а здесь сразу в четырёх плокостях восьмимерного пространства вложения семимерной сферы.

Я под вращением понимаю ортогональное (в комплексном случае унитарное) преобразование, в данном случае $O(t),$ непрерывно зависящее от параметра $t,$ и тождественное при $t=0.$ Можно наложить условие $dO/dt=\mathrm{const},$ можно и не накладывать. Заметаемая линия - это образ точки, умноженной на $t\in[0,1]$ или $t\in\mathbb{R}.$

Вопрос остаётся.

[ИгорЪ]

На семимерной сфере групповая структура, как на трехмерной, невозможна из-за неассоциативности октанионов. Можно ввести луповую структуру. Но это очень экзотическая штука, хотя физики это любят. Мотивацию можете сказать?

[Bulinator]

ИгорЪ в сообщении #398105 писал(а):

как на трехмерной,

на трехмерной - это кватернионы, которые ассоциативны.
$S^3\simeq SU(2)$

Сообщения с «переходом на личности» выделены в самостоятельную тему. Пожалуйста, пишите в тематических разделах о предмете, а не участниках. В случае продолжения разжигания флейма и отступления от темы в данной ветке будут применены санкции. / GAA