Алгебры и семимерная сфера

[Bulinator]

Прошу предупредите, как только я начну бредить.

Многообразие $M$ называется многообразием группы $G$, если существует изоморфизм $f:G\to M$.

Такое же определение можно ввести и для алгебр(можно??).

$S^7$-не является групповым многообразием.

Вопрос 1: Как это доказывается?(где искать)

Если оно не является групповым многообразием, значит и не является многообразием алгебры Ли.

Вопрос 2: Существуют ли какие-нибудь нелиевы алгебры $A$, желательно с блилинейным отображением $[,]:A\times A\to A$ напоминающим коммутатор, многообразие которых есть $S^7$?

-- Пн дек 27, 2010 23:10:02 --

На второй вопрос я попытался ответить. Возьмем алгебру октонионов. Рассмотрим преобразование
$a\to \tau a$, $\tau\bar\tau=1$(7-сфера), $\tau,a\in \mathbb{O}$.
Но, т.к. алгебра октонионов неассоциативна, коммутатор таких преобразований с $\tau_1$ и $\tau_2$ зависит от элемента $a$. Так что никак не могу определить саму алгебру

[Munin]

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

Многообразие $M$ называется многообразием группы $G$, если существует изоморфизм $f:G\to M$.

Боюсь, необходимо оговорить, что изоморфизм должен сохранять топологию и гладкую структуру.

[Bulinator]

Munin в сообщении #392534 писал(а):

должен сохранять топологию

Что такое топология группы?

[Munin]

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

Но, т.к. алгебра октонионов неассоциативна

Насколько я помню первый курс, в этом случае она попросту не является алгеброй (но называется "алгеброй октонионов", в силу традиции). Аксиомы алгебры сильнее полугруппы для обеих операций.

[Bulinator]

Munin в сообщении #392547 писал(а):

Насколько я помню первый курс, в этом случае она попросту не является алгеброй

Является. Алгебра необязательно должна быть ассоциативной.

[Munin]

Bulinator в сообщении #392544 писал(а):

Что такое топология группы?

Насколько я понимаю, на группах Ли принято вводить топологию такую, что малая окрестность элемента имеет топологию некоторой области в $R^n.$

[Bulinator]

Munin в сообщении #392552 писал(а):

Насколько я понимаю, на группах Ли принято вводить топологию такую, что малая окрестность элемента имеет топологию некоторой области в $R^n.$

Задать топологию разве не значит указать какие именно множества являются открытыми?

[Munin]

Bulinator в сообщении #392551 писал(а):

Алгебра необязательно должна быть ассоциативной.

Значит, плохо помню.

-- 27.12.2010 22:27:59 --

Bulinator в сообщении #392554 писал(а):

Задать топологию разве не значит указать какие именно множества являются открытыми?

Да. Но это непосредственно делать часто много возни, поэтому топологию задают способами построения: через произведения, через базу, сопоставляя множество с другим множеством, на котором уже задана топология, и так далее.

[Bulinator]

bump

[paha]

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

Вопрос 2: Существуют ли какие-нибудь нелиевы алгебры $A$, желательно с блилинейным отображением $[,]:A\times A\to A$ напоминающим коммутатор, многообразие которых есть $S^7$?

алгебра -- это линейное пространство... коим сфера ну никак не является

-- Ср дек 29, 2010 14:55:43 --

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

$S^7$-не является групповым многообразием.

Вопрос 1: Как это доказывается?(где искать)

вероятно, Вы спрашиваете "как доказать, что на $S^7$ нельзя ввести структуру группы Ли (или топологической группы)?"
Т.е. умножение должно быть согласовано с гладкостью (топологией), да?

-- Ср дек 29, 2010 14:56:45 --

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

Но, т.к. алгебра октонионов неассоциативна

уже говорите "алгебра октав", так традиционней:)

-- Ср дек 29, 2010 14:59:04 --

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

На второй вопрос я попытался ответить. Возьмем алгебру октонионов. Рассмотрим преобразование
$a\to \tau a$, $\tau\bar\tau=1$(7-сфера), $\tau,a\in \mathbb{O}$.
Но, т.к. алгебра октонионов неассоциативна, коммутатор таких преобразований с $\tau_1$ и $\tau_2$ зависит от элемента $a$. Так что никак не могу определить саму алгебру

тут Вы показали только то, что множество октав с единичной нормой (гомеоморфное $S^7$) не является группой (нет ассоциативности умножения)

[Bulinator]

paha в сообщении #393340 писал(а):

вероятно, Вы спрашиваете "как доказать, что на $S^7$ нельзя ввести структуру группы Ли (или топологической группы)?"

Ну вот $U(1)\simeq S^1$, $SU(2)\simeq S^3$ а вот для $S^7$ такой группы нет.

-- Ср дек 29, 2010 17:02:35 --

paha в сообщении #393340 писал(а):

тут Вы показали только то, что множество октав с единичной нормой (гомеоморфное $S^7$) не является группой (нет ассоциативности умножения)

Я смирился, что группы нет...
Мне нужно что-нибудь похожее на группу, какое-нибудь обобщение, чтобы как-то умно это обобщение в частном случает давало группу и чтобы как-то было связано с $S^7$.

-- Ср дек 29, 2010 17:04:01 --

paha в сообщении #393340 писал(а):

уже говорите "алгебра октав", так традиционней:)

Самая лучшая статья про ...

-- Ср дек 29, 2010 17:12:09 --

(Оффтоп)

"Октавы"- это имя данное этой алгебре ее первым создателем -Грэйвсом. Однако известной она стала из статьи Артура Кэли в которой он их называл октонионами. И даже очень часто можно встретить название "числа Кэли". Грэйвс был ирландцем и школьным другом Гамильтона. Он убедил его написать в Британскую Королевскую Академию, что это он- Грэйвс первым открыл последнюю нормированную алгебру с делением, но было уже поздно.

-- Ср дек 29, 2010 17:24:19 --

Ладно... вопрос глупый... :(

[paha]

Bulinator в сообщении #392512 писал(а):

(где искать)

Пусть на $S^{n}$ задана структура группы. Существует структура ассоциативной алгебры с делением на $\mathbb{R}^{n+1}$.
Теперь теорема Гурвица запрещает ассоциативные алгебры с делением на $\mathbb{R}^8$.

Октавы единичной нормы дают структуру (гладкой) квазигруппы с единицей на $S^7$.

Термин "октавы" в русскоязычной литературе встречается гораздо чаще, чем "октанионы"

[Bulinator]

Что значит "на $\mathbb{R}^8$". Вы имели ввиду над полем $\mathbb{R}^8$?

[paha]

Bulinator в сообщении #393542 писал(а):

Что значит "на $\mathbb{R}^8$". Вы имели ввиду над полем $\mathbb{R}^8$?

структура алгебры НА восьмимерном вещественном линейном пространстве -- на $\mathbb{R}^8$, т.е. ассоциативное умножение, дистрибутивное относительно естественного сложения в $\mathbb{R}^8$

-- Ср дек 29, 2010 22:21:28 --

Bulinator в сообщении #393542 писал(а):

Вы имели ввиду над полем $\mathbb{R}^8$?

а что такое поле $\mathbb{R}^8$?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Восьмерки Келли?