несколько примеров

[moscwicz]

По-моему это надо рассказывать студентам.

1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству. Пусть $\{e_k\}$ стандартный базис в $l^2$ и $X=span\,\{e_1\},\quad Y=span\,\{e_2,e_3\ldots\}$. Очевидно $l^2=X\oplus Y$. Изометрию $A:l^2\to Y$ зададим формулой $A\sum_{k=1}^\infty x_ke_k= \sum_{k=1}^\infty x_ke_{k+1}$

2) Пусть $p:l^2\to Y$ -- проекция. Тогда непрерывный оператор $A^{-1}p:l^2\to l^2$
интересен тем, что изометрично, гомеоморфно переводит множество первой категории (в $l^2$) $Y$ на множество второй категории $l^2$.

[ewert]

moscwicz в сообщении #394827 писал(а):

1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству.

Зачем, когда вообще два любых сепарабельных пространства всегда изометричны, что общеизвестно. Этот "пример" -- не более чем прямое следствие.

[moscwicz]

ewert в сообщении #395044 писал(а):

moscwicz в сообщении #394827 wrote:
1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству.

Зачем, когда вообще два любых сепарабельных пространства всегда изометричны, что общеизвестно. Этот "пример" -- не более чем прямое следствие.

Не совсем так. Вот например $\mathbb{R}^m$ изометрично $\mathbb{R}^m$, но из этого не следует, что $\mathbb{R}^m$ является собственным замкнутым подпространством в $\mathbb{R}^m$.
Впрочем, это в математике не является, а в педагогике может и является, я тут не специалист, Вам виднее.

[gris]

Скромнёхонько влезу в серьёзный разговор.
Идея очень интересная. В учебниках всегда не хватает "положительных" красивых примеров. Отрицательных целый Гелбаум собран. Это когда функция вот такая, но при этом не дифференцируема нигде.
Разные побочные теоремы собраны в задачниках, но интересно было бы увидеть большую коллекцию интересных примеров из того же матанализа или функана, которые эти теоремы представляют. Ну типа "положительного" Гелбаума.

[ewert]

moscwicz в сообщении #395083 писал(а):

Не совсем так. Вот например $\mathbb{R}^m$ изометрично $\mathbb{R}^m$, но из этого не следует, что $\mathbb{R}^m$ является собственным замкнутым подпространством в

И что?... Тут логика на какую-то непонятную изнанку вывернута. Конкретный пример нужен в тех случаях, когда иллюстрируемое им утверждение нетривиально. А тут утверждение (о существовании пространства, имеющего и т.д.) тривиально следует из общих соображений. Берём любое сепарабельное гильбертово пространство, затем любое собственное бесконечномерное подпространство в нём -- и всё. К чему ещё какие-то примеры?...

[Munin]

ewert в сообщении #395101 писал(а):

К чему ещё какие-то примеры?...

К тому, что люди воспринимают информацию по-разному: одни из предоставленных общих принципов могут сами додуматься до примеров, а другие из предоставленных примеров приходят к пониманию общих принципов. Причём вторых больше.

[ewert]

Тогда этот же пример нужно формулировать совсем по-другому. Берём любое сепарабельное пространство, любое единичный вектор, ортогональное дополнение к нему и ортонормированный базис в этом ортогональном дополнении. Потом это можно будет проиллюстрировать и эль-два, но -- только потом, иначе это безыдейно.

---------------------------------------
Нет, всё равно трюкачество выходит, хоть и чуть помягче. За деревьями плохо просматривается лес.

[Профессор Снэйп]

moscwicz в сообщении #394827 писал(а):

1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству. Пусть $\{e_k\}$ стандартный базис в $l^2$ и $X=span\,\{e_1\},\quad Y=span\,\{e_2,e_3\ldots\}$. Очевидно $l^2=X\oplus Y$. Изометрию $A:l^2\to Y$ зададим формулой $A\sum_{k=1}^\infty x_ke_k= \sum_{k=1}^\infty x_ke_{k+1}$

span --- это линейная оболочка или замыкание линейной оболочки?

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #397975 писал(а):

span --- это линейная оболочка или замыкание линейной оболочки?

здесь, конечно, имеется ввиду замкнутая линейная оболочка

[ewert]

moscwicz в сообщении #397995 писал(а):

замкнутая линейная оболочка

по-моему, так не говорят (во всяком случае, так говорить не следует -- словосочетание выглядит внутренне противоречивым)

[moscwicz]

Так говорят, например , Эдвардс Функционаольный Анализ.