2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 несколько примеров
Сообщение03.01.2011, 13:31 
По-моему это надо рассказывать студентам.

1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству. Пусть $\{e_k\}$ стандартный базис в $l^2$ и $X=span\,\{e_1\},\quad Y=span\,\{e_2,e_3\ldots\}$. Очевидно $l^2=X\oplus Y$. Изометрию $A:l^2\to Y$ зададим формулой $A\sum_{k=1}^\infty x_ke_k= \sum_{k=1}^\infty x_ke_{k+1}$

2) Пусть $p:l^2\to Y$ -- проекция. Тогда непрерывный оператор $A^{-1}p:l^2\to l^2$
интересен тем, что изометрично, гомеоморфно переводит множество первой категории (в $l^2$) $Y$ на множество второй категории $l^2$.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 02:06 
moscwicz в сообщении #394827 писал(а):
1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству.

Зачем, когда вообще два любых сепарабельных пространства всегда изометричны, что общеизвестно. Этот "пример" -- не более чем прямое следствие.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 10:58 
ewert в сообщении #395044 писал(а):
moscwicz в сообщении #394827 wrote:
1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству.

Зачем, когда вообще два любых сепарабельных пространства всегда изометричны, что общеизвестно. Этот "пример" -- не более чем прямое следствие.

Не совсем так. Вот например $\mathbb{R}^m$ изометрично $\mathbb{R}^m$, но из этого не следует, что $\mathbb{R}^m$ является собственным замкнутым подпространством в $\mathbb{R}^m$.
Впрочем, это в математике не является, а в педагогике может и является, я тут не специалист, Вам виднее.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 11:17 
Аватара пользователя
Скромнёхонько влезу в серьёзный разговор. :-)
Идея очень интересная. В учебниках всегда не хватает "положительных" красивых примеров. Отрицательных целый Гелбаум собран. Это когда функция вот такая, но при этом не дифференцируема нигде.
Разные побочные теоремы собраны в задачниках, но интересно было бы увидеть большую коллекцию интересных примеров из того же матанализа или функана, которые эти теоремы представляют. Ну типа "положительного" Гелбаума.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 11:33 
moscwicz в сообщении #395083 писал(а):
Не совсем так. Вот например $\mathbb{R}^m$ изометрично $\mathbb{R}^m$, но из этого не следует, что $\mathbb{R}^m$ является собственным замкнутым подпространством в

И что?... Тут логика на какую-то непонятную изнанку вывернута. Конкретный пример нужен в тех случаях, когда иллюстрируемое им утверждение нетривиально. А тут утверждение (о существовании пространства, имеющего и т.д.) тривиально следует из общих соображений. Берём любое сепарабельное гильбертово пространство, затем любое собственное бесконечномерное подпространство в нём -- и всё. К чему ещё какие-то примеры?...

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 12:49 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #395101 писал(а):
К чему ещё какие-то примеры?...

К тому, что люди воспринимают информацию по-разному: одни из предоставленных общих принципов могут сами додуматься до примеров, а другие из предоставленных примеров приходят к пониманию общих принципов. Причём вторых больше.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение04.01.2011, 14:48 
Тогда этот же пример нужно формулировать совсем по-другому. Берём любое сепарабельное пространство, любое единичный вектор, ортогональное дополнение к нему и ортонормированный базис в этом ортогональном дополнении. Потом это можно будет проиллюстрировать и эль-два, но -- только потом, иначе это безыдейно.

---------------------------------------
Нет, всё равно трюкачество выходит, хоть и чуть помягче. За деревьями плохо просматривается лес.

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение11.01.2011, 09:38 
Аватара пользователя
moscwicz в сообщении #394827 писал(а):
1) Пример гильбертова пространства, которое изометрично своему собственному замкнутому подпространству. Пусть $\{e_k\}$ стандартный базис в $l^2$ и $X=span\,\{e_1\},\quad Y=span\,\{e_2,e_3\ldots\}$. Очевидно $l^2=X\oplus Y$. Изометрию $A:l^2\to Y$ зададим формулой $A\sum_{k=1}^\infty x_ke_k= \sum_{k=1}^\infty x_ke_{k+1}$

span --- это линейная оболочка или замыкание линейной оболочки?

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение11.01.2011, 11:17 
Профессор Снэйп в сообщении #397975 писал(а):
span --- это линейная оболочка или замыкание линейной оболочки?

здесь, конечно, имеется ввиду замкнутая линейная оболочка :D

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение11.01.2011, 11:59 
moscwicz в сообщении #397995 писал(а):
замкнутая линейная оболочка

по-моему, так не говорят (во всяком случае, так говорить не следует -- словосочетание выглядит внутренне противоречивым)

 
 
 
 Re: несколько примеров
Сообщение11.01.2011, 12:19 
Так говорят, например , Эдвардс Функционаольный Анализ.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group