Мера множества точек с N нулями в десятичном разложении

[Alladin]

Подсказали мне такое решение.
Всего чисел в разложении 10^N, из каждой десятки девять не имеют нулей, а при стремлении N в бесконечность (9/10)^N даст 0. Искомая мера 1.
Вроде логично?

[Alladin]

$f_n(x) = 3-3\chi_{(4\sqrt[n]{(3n)!}; 3n(3n+1)^2)}(x)$
Вот в этом задании нужно проверить сходимости указанной функции почти всюду, по мере, в среднем, и по мажоранте.
Объясните, пожалуйста, что это за функция, что собой представляет такая запись?

[Gortaur]

Вы бы все-таки не рисунок вставили, а формулу написали. Хи - характеристическая функция, равна единице на указанном интервале и нулю в остальных случаях.

[Alladin]

Gortaur в сообщении #397558 писал(а):

Вы бы все-таки не рисунок вставили, а формулу написали. Хи - характеристическая функция, равна единице на указанном интервале и нулю в остальных случаях.

Т.е. я могу утверждать, что она измерима, т.к. f(x)=c, где c=0 и 1 на разных интервалах; интегрируема по Риману, т.к. ограничена, и интегрируема по Лебегу? А также, что она является функцией ограниченной вариации, т.к. ограничена. Всё верно?

[Хорхе]

Alladin в сообщении #397652 писал(а):

Т.е. я могу утверждать, что она измерима, т.к. f(x)=c, где c=0 и 1 на разных интервалах; интегрируема по Риману, т.к. ограничена, и интегрируема по Лебегу? А также, что она является функцией ограниченной вариации, т.к. ограничена. Всё верно?

Первое утверждение я не понял, остальное неверно. Не всякая интегрируемая по Лебегу (кстати, почему Вы думаете, что она интегрируема?) ограниченная функция интегрируема по Риману и уж тем более не всякая ограниченная функция имеет конечную вариацию.

[Alladin]

Ой... прошу прощения. Переучился. Начал задавать вопросы совсем по другому заданию... Мне ж нужно сходимости проверить! Вот, например, почти всюду. Надо, чтобы предел fn при n->бесконечность стремился к f. Как правильно проверить? Я вижу лишь, что при стремлении n интервал меняется... Объясните, пожалуйста.

[Gortaur]

Чему равен поточечный предел, посчитали?

[Alladin]

Gortaur в сообщении #397734 писал(а):

Чему равен поточечный предел, посчитали?

Наверное, глупый вопрос: что это даст? Из поточечной сходимости будет вытекать сходимость почти всюду?

[Хорхе]

А каково определение сходимости почти всюду?

[Alladin]

Хорхе в сообщении #397988 писал(а):

А каково определение сходимости почти всюду?

$\lim\limits_{n \to \infty}f_n = f$ почти для всех точек, принадлежащих интервалу.

[Gortaur]

А чему равна $f$?

[Alladin]

Gortaur в сообщении #398052 писал(а):

А чему равна $f$?

0 на интервале и 3 в остальных случаях, насколько я понимаю.

[Gortaur]

На каком интервале? Знаете, зафиксируйте $x$ и посмотрите на числовой предел $f_n(x)$.

[Alladin]

Я не понимаю
Вы сказали, что характеристическая функция равняется единице на интервале, указанном в скобках, и нулю в других случаях.
При стремлении N в бесконечность границы интервала, указанные в скобках, сами уходят в бесконечность...

[Gortaur]

Интервал-то меняется с ростом n.