Мера множества точек с N нулями в десятичном разложении

[Alladin]

Вчера мы с Gortaur'ом разобрали сходимость почти всюду и выяснили, что моя функция сходится всюду к 3.
Теперь нужно проверить сходимость по мере, т.е. $\lim\limits_{n \to \infty}\mu(x:|f_n-f|>\varepsilon$)=0
Привожу свои догадки:
$|f_n-f|=3\chi_{(4\sqrt[n]{(3n)!}; 3n(3n+1)^2)}(x)$
Это больше $\varepsilon$ в тех точках, которые принадлежат интервалу. При ${n \to \infty}$ мера этих точек равняется нулю, значит, последовательность сходится по мере. Верно?

Затем как быть со сходимость в среднем? Там ведь надо интеграл Лебега считать? Расскажите, пожалуйста.

[Gortaur]

Пусть $m_n(\varepsilon) = \mu(x:|f_n(x) - f(x)|>\varepsilon)$. Чему равно $m_n$? Рассмотрите отдельно
1. $\varepsilon\geq 3$
2. $\varepsilon < 3$.

Теперь о сходимости в среднем - приведите определение, которым нужно пользоватся. Мне не очень понятно какое среднее будет на всей числовой прямой...

[Alladin]

Gortaur в сообщении #398791 писал(а):

Пусть $m_n(\varepsilon) = \mu(x:|f_n(x) - f(x)|>\varepsilon)$. Чему равно $m_n$? Рассмотрите отдельно
1. $\varepsilon\geq 3$
2. $\varepsilon < 3$.

Теперь о сходимости в среднем - приведите определение, которым нужно пользоватся. Мне не очень понятно какое среднее будет на всей числовой прямой...

1. При $\varepsilon\geq 3$ $m_n$ - мера интервала, которая при $n \to \infty$ даст 0.
2. При $\varepsilon < 3$ $m_n$ - мера вне интервала, которая при $n \to \infty$ даст \infty.
Так?

Для сходимости в среднем:
$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{S} |f_n(x)-f(x)|dx$= 0$

[Gortaur]

Нет, не так - покажите, как это у Вас получилось.

Насчет сходимости в среднем - что такое $S$?

[Alladin]

С тем примером пока небольшая остановка.
$f_n(x) = xsgn|sin^2(n!\pi x)|$
Нужно также проверить на сходимости.
Вот снова возьмём сходимость почти всюду.
Моя функция равна 0 при целых x и x при остальных x.
Как тогда определить, куда стремится функция при $n\to \infty$? К $x$ почти всюду?

[Gortaur]

Не очень понимаю, зачем от квадрата брать модуль В остальном - у Вас куча корней вылезет, когда $n$ будет возрастать, но тем не менее на множестве иррациональных чисел у Вас будет ответ $x$ всегда. То есть есть сходимость на множестве иррациональных чисел к $x$, то есть...

[Alladin]

Gortaur в сообщении #401122 писал(а):

Не очень понимаю, зачем от квадрата брать модуль В остальном - у Вас куча корней вылезет, когда $n$ будет возрастать, но тем не менее на множестве иррациональных чисел у Вас будет ответ $x$ всегда. То есть есть сходимость на множестве иррациональных чисел к $x$, то есть...

Т.е. я могу написать, что $f_n(x)$ при $n\to \infty$ стремится к x => сходится почти всюду?

И ещё: взяв снова последовательность $f_n(x) = 3-3\chi_{(4\sqrt[n]{(3n)!}; 3n(3n+1)^2)}(x)$, мне нужно определить сходимость интегрируемой мажоранты.
Для этого должна существовать функция $h(x)$, интегрируемая по Лебегу, причём $|f_n(x)|\leqslant |h(x)|$ почти для всех x. Т.к. хар. функция принимает значение 0 или 1, а вся моя последовательность 0 или 3, то могу ли я положить $h(x)=7$ например?
В этой же задаче надо определить такую непрерывную функцию $g$, что $f_n(x)\to g(x)$ почти всюду относительно меры Лебега на множестве $R$. Я правильно понимаю, что это уже сделано при определении сходимости почти всюду, когда мы нашли, что $f_n(x)$ при $n\to \infty$ сходится к числу 3? Т.е. $g(x)=3$?

[Gortaur]

7 - пойдет (вывод основан на Вашем определении). Да, так как $f$ сходится всюду к 3, она и почти всюду сходится, а константа непрерывна.

-- Вт янв 18, 2011 15:51:49 --

Насчет синусов - да, там будет сходимость на множестве иррациональных чисел - то есть сходимость почти всюду.

-- Вт янв 18, 2011 16:43:39 --

Насчет мажоранты - интеграл должен быть конечен?