Линейное векторное пространство.

[zero-phase]

Ales, ну если я всё правильно понял, то когда говорят линейное векторное пространство "над" каким-либо полем чисел, имеют ввиду просто множество чисел, с которыми будут производится операции.

(Оффтоп)

Вы мне оказали очень большую помощь, за что я Вам очень признателен.

[maxmatem]

Цитата:

говорят линейное векторное пространство "над" каким-либо полем чисел, имеют ввиду просто множество чисел, с которыми будут производится операции.

Это поле не зря во многих учебниках называют полем скаляров, так что задумайтесь над правильностью написанного вами выше вывода.

[zero-phase]

maxmatem в сообщении #396393 писал(а):

Цитата:

говорят линейное векторное пространство "над" каким-либо полем чисел, имеют ввиду просто множество чисел, с которыми будут производится операции.

Это поле не зря во многих учебниках называют полем скаляров, так что задумайтесь над правильностью написанного вами выше вывода.

скаляры... моих знаний пока не хватает, чтобы правильно выразить свои мысли... видимо, у скаляров есть свое одномерное пространство =) интересно, как определяется связь между скалярами и векторами в различных пространствах?

[JMH]

Мне встречались (Ван дер Варден, например) определения векторного пространства, где скаляры не поле, а тело, т.е. коммутативность не требуется. Если бы не это, то можно было бы смело говорить, что скаляры - числа (в наиболее общем случае комплексные).

[maxmatem]

Цитата:

Мне встречались (Ван дер Варден, например) определения векторного пространства, где скаляры не поле, а тело,

Но суть не совсем в этом...а в том что в этом поле живут скаляры, а не кто-то другой.

[JMH]

maxmatem в сообщении #396420 писал(а):

Но суть не совсем в этом...а в том что в этом поле живут скаляры, а не кто-то другой.

Конечно, но я, собственно, комментировал вот это утверждение:

Цитата:

говорят линейное векторное пространство "над" каким-либо полем чисел, имеют ввиду просто множество чисел, с которыми будут производится операции.

[paha]

JMH в сообщении #396417 писал(а):

Мне встречались (Ван дер Варден, например) определения векторного пространства, где скаляры не поле, а тело

Общепринятое наименование для такого объекта: унитарный модуль над телом

[JMH]

Кстати, интересный вопрос: всякое конечное тело является полем, а какие еще бывают бесконечные тела, кроме кватернионов? В принципе, любое собственное подмножество векторного пр-ва, само являющееся векторным пр-вом может служить множеством скаляров, так?

[paha]

JMH в сообщении #396453 писал(а):

В принципе, любое собственное подмножество векторного пр-ва, само являющееся векторным пр-вом может служить множеством скаляров, так?

нет:) нужна обратимая ассоциативная операция умножения

[ewert]

(Оффтоп)

zero-phase в сообщении #396404 писал(а):

скаляры... моих знаний пока не хватает, чтобы правильно выразить свои мысли...

между тем -- достаточно скоро опять пойдёт четвёртая страница...

[Ales]

zero-phase в сообщении #396377 писал(а):

Ales, ну если я всё правильно понял, то когда говорят линейное векторное пространство "над" каким-либо полем чисел, имеют ввиду просто множество чисел, с которыми будут производится операции.

Если не строго, то числовое поле - множество чисел, замкнутое относительно арифметических операций (сложения, умножения, вычитания и деления), на которые можно умножать вектора линейного пространства.
В википедии есть строгое определение поля.

Реально Вы используете либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел. И если Вы не алгебраист, то Вам даже и знать не нужно это понятие "числовое поле", надо только знать действительные и комплексные числа.

А вот физики обычно используют слово "поле" в сочетании "электромагнитное поле". Здесь полем называется совсем другая штука.

[JMH]

paha в сообщении #396488 писал(а):

нужна обратимая ассоциативная операция умножения

Это еще интереснее: т.е. можно определить векторное пр-во, в котором телом скаляров служат, например, матрицы? Можно ли где-нибудь про это почитать?

[paha]

JMH в сообщении #396511 писал(а):

Это еще интереснее: т.е. можно определить векторное пр-во, в котором телом скаляров служат, например, матрицы? Можно ли где-нибудь про это почитать?

Да зачем Вам векторные пространства? Модули над кольцами -- более общий случай... Или откройте талмуд Пирса "Ассоциативные алгебры"