Идеалы и кольца

[Мат]

Идеалов не существует - куммеровские понты!

[Delphin100]

Задача:
Построить фактор-кольцо и указать числовое поле, которому оно изоморфно $Q[x]/(x^4-10x^2+1)$.

Моё решение:
1. Всё получилось фактор кольцо это $r+I$ где $r$ - всевозможные остатки от деления на непереводимый многочлен $(x^4-10x^2+1)$.

Как доказать что оно является или не является полем?
Тут понятно надо найти нейтральный и обратный но вот как это сделать с такими объектами $r+I$.

Или частный случай как найти $[(x^2+1) +I]^-1$

--
Заранее спасибо, всех с Новым Годом.

[AV_77]

Алгоритм Евклида посмотрите.

[Delphin100]

Обратный здесь $[1+I]$?
Нужно найти коэффициенты Безу для многочленов $x^2+1$ и $x^4+10x^2+1$? А уже через них найти обратный многочлен?

[AV_77]

Delphin100 в сообщении #395800 писал(а):

Обратный здесь $[1+I]$?

Это не обратный, а единица факторкольца.

Delphin100 в сообщении #395800 писал(а):

Нужно найти коэффициенты Безу для многочленов $x^2+1$ и $x^4+10x^2+1$? А уже через них найти обратный многочлен?

Нужно найти НОД многочленов $x^2+1$ и $x^4 - 10x^2 + 1$ и его представление в виде $u(x) (x^2 + 1) + v(x) (x^4 - 10x^2 + 1)$.

[Delphin100]

Цитата:

Это не обратный, а единица факторкольца.

Да конечно спасибо, это "очень" опечатка.

У меня получилось $(x^4+10x^2+1)-(x^2+9)(x^2+)=-8$
Отсюда: $[(x^2+1) +I]*[(x^2+9)+I] = 8 [1+I]$ или как то можно вынести константу? Ведь это сейчас не обратный?

[AV_77]

На $-\frac{1}{8}$ домножить не пробовали?

[Delphin100]

Ну да неплохая идея) Спасибо.
А этого достаточно для доказательства что это поле или нужно в общем случае рассмотреть? для $[(ax^3+bx^2+cx+d) +I]$

[Kallikanzarid]

Bolopak в сообщении #207454 писал(а):

Вопрос 1 Пусть B - подкольцо кольца A. Верно ли, что если A - кольцо с единицей, то и B - кольцо с единицей?

Что-то об этом вопросе все забыли, или я плохо смотрел? :)

Интерпретирую его так: "пусть A - кольцо с единицей, B - его подобъект в категории колец. Содержит ли B единицу?" ИМХО, вообще говоря, нет: возьмем кольцо многочленов с нулевым свободным членом, вроде все аксиомы удовлетворяются

[bot]

Да ещё проще - в кольце целых чисел рассмотрим подкольцо чётных.

-- Ср апр 27, 2011 19:30:02 --

Упс - а смотрели ли Вы сообщение, которое цитируете? Ответив, решил посмотреть, а там ведь спрашиватель сам на свой вопрос и отвечает.

[Kallikanzarid]

bot в сообщении #439162 писал(а):

Упс - а смотрели ли Вы сообщение, которое цитируете? Ответив, решил посмотреть, а там ведь спрашиватель сам на свой вопрос и отвечает.

Да? Это многое объясняет :)

[lofar]

Ответ на вопрос с подкольцами и единицей зависит от класса рассматриваемых колец. Точнее, в категории колец с единицей подкольцо должно содержать 1, так как морфизмы этой категории по определению переводят 1 в 1. В категории колец не обязательно с единицей, подкольцо может не содержать 1.