Идеалы и кольца

[Bolopak]

Подскажите пожалуйста
Вопрос 1 Пусть B - подкольцо кольца A. Верно ли, что если A - кольцо с единицей, то и B - кольцо с единицей?
Я вот думаю, что не верно, потому что, например, Z - кольцо с единицей, но nZ - подкольцо кольца Z и оно без единицы. А есть другое подкольцо: кольцо классов вычетов Z/nZ и оно с единицей.
Вопрос 2 Какие идеалы являются главными в кольце R[x]?
R[x] - это ведь кольцо полиномов с вещественными коффициентами?
Главными идеалами вроде являются Z[x], nZ[x] и 0.
А какие еще есть?

[Профессор Снэйп]

Bolopak писал(а):

Вопрос 2 Какие идеалы являются главными в кольце R[x]?

Все

Кстати, $\mathbb{Z}[x]$ --- это не идеал в $\mathbb{R}[x]$. Идеал должен выдерживать умножение на любой элемент кольца, в том числе и на любую константу из $\mathbb{R}$.

[mkot]

Bolopak писал(а):

Подскажите пожалуйста
Вопрос 1 А есть другое подкольцо: кольцо классов вычетов Z/nZ и оно с единицей.

Это не есть подкольцо кольца $\mathbb{Z}$.

[Bolopak]

mkot писал(а):

Bolopak писал(а):

Подскажите пожалуйста
Вопрос 1 А есть другое подкольцо: кольцо классов вычетов Z/nZ и оно с единицей.

Это не есть подкольцо кольца $\mathbb{Z}$.

А какое свойство нарушается? Z/nZ - кольцо. Z/nZ находится внутри кольца Z. при n>1. Не понимаю, почему же это не подкольцо?

[mkot]

Bolopak писал(а):

Вопрос 2 Какие идеалы являются главными в кольце R[x]?
R[x] - это ведь кольцо полиномов с вещественными коффициентами?

Справедливо следующее утверждение: если $P$ -- поле, то в кольце многочленов $P[x]$ каждый идеал является главным.
Это утверждение доказывается на основе алгоритма деления и его можно найти почти в любом учебнике по алгебре, например, в Алгебре ван дер Вардена.

И как справедливо было замечено, ни $\mathbb{Z}[x]$, ни $n\mathbb{Z}[x]$ идеалами не являются.

[Bolopak]

Профессор Снэйп писал(а):

Bolopak писал(а):

Вопрос 2 Какие идеалы являются главными в кольце R[x]?

Кстати, $\mathbb{Z}[x]$ --- это не идеал в $\mathbb{R}[x]$. Идеал должен выдерживать умножение на любой элемент кольца, в том числе и на любую константу из $\mathbb{R}$.

Да, Вы правы.
Значит, только 0 явл. идеалом этого кольца.

[mkot]

Bolopak писал(а):

mkot писал(а):

Bolopak писал(а):

Подскажите пожалуйста
Вопрос 1 А есть другое подкольцо: кольцо классов вычетов Z/nZ и оно с единицей.

Это не есть подкольцо кольца $\mathbb{Z}$.

А какое свойство нарушается? Z/nZ - кольцо. Z/nZ находится внутри кольца Z. при n>1. Не понимаю, почему же это не подкольцо?

То, что $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ кольцо никто не спорит. Но оно не находится внутри $\mathbb{Z}$,
так как должны сохранятся операции. Но $n\cdot 1 = 0$ в $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, в
$\mathbb{Z}$ это конечно же не так.

[Bolopak]

mkot писал(а):

в
$\mathbb{Z}$ это конечно же не так.

Спасибо, теперь понятно!
Тогда правильно ли так: в кольце \mathbb{Z} есть подкольцо \mathbb{Z*}={1,-1} (и оно как раз с единицей)?

[mkot]

Bolopak писал(а):

mkot писал(а):

в
$\mathbb{Z}$ это конечно же не так.

Спасибо, теперь понятно!
Тогда правильно ли так: в кольце \mathbb{Z} есть подкольцо \mathbb{Z*}={1,-1} (и оно как раз с единицей)?

$\mathbb{Z}^{*}$ тоже не подкольцо $\mathbb{Z}$ так как не замкнуто относительно сложения
$1 + 1 = 2 \not\in \mathbb{Z}^{*}$.

Добавлено спустя 37 секунд:

Подкольца вы уже написали, это будут $n\mathbb{Z}$.

[Bolopak]

Точно. Z*={1,-1} это просто мультипликативная группа, лежащая в кольце Z. Потому что в кольце должна быть определена операция '+'
Значит, получается, что все подкольца в Z без единицы.
Я просто хочу найти пример, когда кольцо с 1 и подкольцо с 1.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

О! Например {0} - подкольцо кольца (пусть Z). И оно с единицей!

[mkot]

Ну ещё само кольцо $\mathbb{Z}$ является своим подкольцом, и оно содержит единицу :).

Добавлено спустя 4 минуты 54 секунды:

И подправьте все формулы, вам надо только-то их $ окружить.

[Bolopak]

Возвращаясь к вопросу об идеалах в кольце $\mathbb{R}$[x], какие там еще есть кроме нулевого идеала? Мне ничего больше не удалось найти.

[Профессор Снэйп]

Bolopak писал(а):

Возвращаясь к вопросу об идеалах в кольце $\mathbb{R}$[x], какие там еще есть кроме нулевого идеала? Мне ничего больше не удалось найти.

Плохо искали

[mkot]

Bolopak писал(а):

Возвращаясь к вопросу об идеалах в кольце $\mathbb{R}$[x], какие там еще есть кроме нулевого идеала? Мне ничего больше не удалось найти.

Ну для начала, можно заметить, что $\mathbb{R}[x]$ есть идеал в $\mathbb{R}[x]$.
После этого тривиалные идеалы будут исчерпаны.

Далее вспомните как устроены иделалы в $\mathbb{Z}$, это $n\mathbb{Z}$, то
есть числа кратные некоторому $n$, Попытайтесь построить аналогичную конструкцию в $\mathbb{R}[x]$, то есть рассмотрите многочлен $f(x)$ и рассмотрите все многочлены делящиеся на f(x). Является ли это множество подкольцом? идеалом?

[Bolopak]

Профессор Снэйп писал(а):

Плохо искали

Не вижу в этом ничего смешного. Если не можете объяснить, то лучше не отвечайте вовсе. Или вы это делаете ради того, чтобы набить сообщения?

mkot, спасибо за разъяснения. Теперь ясно как искать идеалы.