Непрерывность... есть контрпример?
в
этом сообщении я рассказал, как надо строить контрпример.
рассмотрим конкретный пример. для простоты рассмотрим кусочно-линейную
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
(просто не могу придумать простую формулу для гладкой функции). берём
![$f(x)=1/x^2$ $f(x)=1/x^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/d/82d73eebd096c02193b691ff5ae8d31f82.png)
. положим
![$g(x)=1/x^2$ $g(x)=1/x^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/3/fb3325501b6587a3e462d67a7356a1e682.png)
при
![$x=1,e^{2^n}$ $x=1,e^{2^n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/b/6bbd401e7ccee36b1660312b86c70f0d82.png)
,
![$n=0,1,2,\ldots$ $n=0,1,2,\ldots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/1/30101a8b053c9aab6f4b7684ef5faa0982.png)
, а дальше продолжим кусочно-линейным образом. чтобы получить гладкую
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
, надо только "сгладить на поворотах".
Вообще, мотивация более глубокая. А именно найти (или показать, что нет) функцию, лежащую на граинце этих классов. Точнее, ее поведение на бесконечности.
кое-что можно сказать. для любой функции
![$f\in\mathcal F$ $f\in\mathcal F$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d10b27ca7cd47d8095b70be1bd7722782.png)
выполнено
![$f(x)=o(1/x)$ $f(x)=o(1/x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45e0e079a929b0641c3849e04d02381d82.png)
при
![$x\to+\infty$ $x\to+\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/1/6e105e1a17060af5ef201703921b328282.png)
. при этом функцию
![$1/x$ $1/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91e016f6698083c4698811f046f0eb2582.png)
нельзя заменить ни на какую более быстро убывающую функцию, т.е. для любой функции
![$f_0(x)=o(1/x)$ $f_0(x)=o(1/x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/c/c3c69d325a8c417e2f29ffe24b06e2c982.png)
существует
![$f\in\mathcal F$ $f\in\mathcal F$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d10b27ca7cd47d8095b70be1bd7722782.png)
, для которой условие
![$f(x)=o(f_0(x))$ $f(x)=o(f_0(x))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/9/0a9e3a1d20a595bd851a3d575a21eb3282.png)
не выполнено. так что в некотором смысле функция
![$1/x$ $1/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91e016f6698083c4698811f046f0eb2582.png)
является граничной.