Интеграл и предел

[RIP]

Gortaur в сообщении #321084 писал(а):

Есть

$$\mathcal{F}=\{f\in C^1(\mathbb{R})|f>0,f'<0,\int\limits_{1}^\infty f(x)\,dx < \infty\}$$

и

$$\mathcal{G}=\{g\in C^1(\mathbb{R})|g>0,g'<0,\int\limits_{1}^\infty g(x)\,dx = \infty\} .$$

Верно ли, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ для любых $f\in\mathcal{F}$ и $g\in\mathcal{G}$?

Очевидно, нет. Для любой $f\in\mathcal F$ найдётся $g\in\mathcal G$, что предел не существует.

[Gortaur]

Можно пример?

[RIP]

Тут надо картинку рисовать, но попробую объяснить на пальцах (явные формулы писать довольно муторно). Пусть у нас есть вообще произвольная положительная функция $f(x)$. Опишем такую функцию $g\in\mathcal G$, что отношение $\frac{f(x)}{g(x)}$ неограничено. Понятно, что достаточно определить её на $[1,+\infty)$. Используем индукционное построение. Для начала положим $g(1)=f(1)$. Пусть $n\in\mathbb N$, $x_n\ge1$, $g(x_n)\le f(x_n)/n$. Положим $x_{n+1}=x_n+1/g(x_n)+1$. Определим $g(x)$ на отрезке $[x_n,x_{n+1}-1]$ практически константой так, что $\int_{x_n}^{x_{n+1}-1}g(x)\,\mathrm dx\ge\frac12$, а затем доопределим на $[x_{n+1}-1,x_{n+1}]$ так, что $g(x_{n+1})\le f(x_{n+1})/(n+1)$. Собственно, и всё.

Задачу можно сделать интересной, если потребовать выпуклости функций. Тут уже думать надо.
upd. впрочем, нет. тут тоже можно проделать аналогичное построение (только слегка модифицировать).

[Gortaur]

попробую привести тогда свое доказательство.

$$ \int\limits_1^\infty f(x)\,dx < \infty, $$

$$ \int\limits_1^\infty g(x)\,dx = \infty. $$

$$ \frac{\int\limits_1^y f(x)\,dx}{\int\limits_1^y g(x)\,dx} \rightarrow 0, \quad y\rightarrow\infty $$

с другой стороны,

$$ \frac{\int\limits_1^y f(x)\,dx}{\int\limits_1^y g(x)\,dx} = \frac{f(\xi(y))}{g(\xi(y))} $$

где $\xi(y)\leq y$.

и

$$\frac{f(\xi(y))}{g(\xi(y))}\rightarrow 0, \quad y\rightarrow\infty. $$

Более точно, $\forall \varepsilon > 0 \exists Y:\forall y>Y\quad \frac{f(\xi(y))}{g(\xi(y))}<\varepsilon$

Теперь, если мы говорим, что предел $\frac{f(y)}{g(y)}$ не равен 0, это значит, что
$\exists \varepsilon' > 0 \forall Y\,\exists y'>Y\quad \frac{f(y')}{g(y')}>\varepsilon'$.

Функция $\xi(y)$ неограничена и $\forall y' \exists y'': \xi(y'')=y'$, при этом $y''\geq y'$.

Это значит, что
$\exists \varepsilon' > 0 \forall Y\,\exists y''>Y\quad \frac{f(\xi(y''))}{g(\xi(y''))}>\varepsilon'$ и получаем противоречие.

[RIP]

Gortaur в сообщении #321211 писал(а):

$\forall y' \exists y'': \xi(y'')=y'$

это откуда?

[Gortaur]

1. $\xi$ неограничена. Если $\xi(y)\leq M$, то $\frac{f(\xi(y))}{g(\xi(y))}\geq m$, где $m = \min\limits_{[1,M]}\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$.
2. $\xi$ непрерывна.
3. $\xi\geq 1$, $\xi(1)=1$.

[RIP]

Gortaur в сообщении #321227 писал(а):

2. $\xi$ непрерывна.

а это откуда? ну и в п.3 тоже незначительная ошибка: \xi(1) не определено.

[Gortaur]

Пункт 3 имеет ввиду предельное поведение. Непрерывность... есть контрпример?

[Gortaur]

Вообще, мотивация более глубокая. А именно найти (или показать, что нет) функцию, лежащую на граинце этих классов. Точнее, ее поведение на бесконечности.

[RIP]

Gortaur в сообщении #321450 писал(а):

Непрерывность... есть контрпример?

в этом сообщении я рассказал, как надо строить контрпример.

рассмотрим конкретный пример. для простоты рассмотрим кусочно-линейную $g(x)$ (просто не могу придумать простую формулу для гладкой функции). берём $f(x)=1/x^2$. положим $g(x)=1/x^2$ при $x=1,e^{2^n}$, $n=0,1,2,\ldots$, а дальше продолжим кусочно-линейным образом. чтобы получить гладкую $g(x)$, надо только "сгладить на поворотах".

Gortaur в сообщении #321578 писал(а):

Вообще, мотивация более глубокая. А именно найти (или показать, что нет) функцию, лежащую на граинце этих классов. Точнее, ее поведение на бесконечности.

кое-что можно сказать. для любой функции $f\in\mathcal F$ выполнено $f(x)=o(1/x)$ при $x\to+\infty$. при этом функцию $1/x$ нельзя заменить ни на какую более быстро убывающую функцию, т.е. для любой функции $f_0(x)=o(1/x)$ существует $f\in\mathcal F$, для которой условие $f(x)=o(f_0(x))$ не выполнено. так что в некотором смысле функция $1/x$ является граничной.

[Gortaur]

точно так же, как и

$$ \frac{1}{(x+1)\log(x+1)} $$

[Klekota]

Я бы использовал признак о том, что ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно.
Если далее рассматривать их как ряды, то пусть лимит равен какому-то числу. Тогда по сравнительному признаку рядов приходим к тому что они либо оба сходятся либо оба расходятся. То-есть пришли к противоречию. Значит точно не конечное число.
Бесконечность также не подходит, так как это означает что с какого-то н члены ряда f(x) превосходят члены ряда g(x), что по сравнительному признаку значит, что ряд f(x) расходится(поскольку конечное число членов не влияет на сход/расходимость) - опять противоречие.

Утверждение доказано.

[Xaliuss]

В формулировке исходного утверждения надо заменить обычный предел нижним, то что он 0 доказать легко, а верхний предел можно и до бесконечности дотянуть.

[dovlato]

Если, например, сделать обратное предположение, что $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac fg =c>0 $, то интеграл от $f(x)$ на бесконечности, очевидно, начнёт превосходить интеграл от $0.5cg(x)$, а след-но, разойдётся.