Изоморфизмы...

[flame19]

Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;
тогда по определению гомоморфизма h(a+b)=h(a)*h(b)
h(a+0)=h(a)=a; h(a+0)=h(a)*h(0)=a*h(0)=a; следовательно h(0)=1;
теперь рассмотрим следующее:
h(-a+a)=h(-a)*h(a)=h(-a)*a
h(-a+a)=h(0)=1 и вот тут не знаю, что сказать дальше...)
у меня вот такие мысли, что нужно найти такое свойство в одной алгебре, которое не выполняется в другой, или показать, что элементам из одной алгебры сопоставляется 2 элемента из другой, что неверно по определению изоморфизма...

[paha]

flame19 в сообщении #395369 писал(а):

группа (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0}

есть такое свойство -- "быть кратным" (по научному -- делимость в группе)

во второй группе любое является кратным $r=2\frac{r}{2}$, а в первой -- нет $2\ne r^2$

[arseniiv]

(Оффтоп)

А можно ещё показать, что $\langle \mathbb Q \setminus \{0\}; \cdot \rangle$ изоморфна $\langle \mathbb Q; + \rangle \color{blue}{ \times \mathbb Z_2 }$, только не знаю, чем это поможет.

[flame19]

ааа..... понятно)) спасибо!!!))
а можно ещё спросить так же как доказать неизоморфность алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$????? я так подразумеваю,что здесь будет какое-то свойство, связанное с тем, что в первой всегда получаются числа больше либо равные 0, а во второй все рациональные...
хм.... хотя сейчас подумала... может быть кратность здесь тоже подойдёт??? $а^2+a^2$ кратно 2, а $a^3+a^3+1$ не кратно 2... так можно???

[JMH]

Правильно, соответствие взаимно однозначно только для положительных рациональных чисел, для отрицательных - нет.

[flame19]

JMH в сообщении #395394 писал(а):

Правильно, соответствие взаимно однозначно только для положительных рациональных чисел, для отрицательных - нет.

а можно ли это доказать как-нибудь формально??? и что именно за соответствие, не очень понятно...

[VAL]

flame19 в сообщении #395369 писал(а):

Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;

Что за функция? Если это искомый изоморфизм, то почему ненулевой элемент a должен переходить в себя?!

Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.

[paha]

arseniiv
докажите

-- Ср янв 05, 2011 02:08:52 --

arseniiv

VAL в сообщении #395406 писал(а):

Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.

[JMH]

flame19 в сообщении #395402 писал(а):

и что именно за соответствие, не очень понятно...

Что такое изоморфизм алгебраических структур? Это такое взаимно однозначное соответствие ...(посмотрите определение). Вот это соответствие и имеется ввиду.

[flame19]

VAL в сообщении #395406 писал(а):

flame19 в сообщении #395369 писал(а):

Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;

Что за функция? Если это искомый изоморфизм, то почему ненулевой элемент a должен переходить в себя?!

Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.

да.... h - это изоморфизм... h(a)=a - решила так, чтобы было от чего отталкиваться.... вобще не очень понятно как доказывать подобные задачи, для каждой - какое-то своё решение... нет ли какого-то алгоритма для доказательства в общем случае??

[arseniiv]

paha в сообщении #395431 писал(а):

arseniiv
докажите

Ой, это же только для $\mathbb R$! Тогда бы был изоморфизм $f(x) = \left(\ln |x|;\, \frac 12 (1 - \operatorname{sgn} x) \right)$

[flame19]

эм... а всё же свойство кратности в этом случае не подойдёт????

[VAL]

flame19 в сообщении #395631 писал(а):

эм... а всё же свойство кратности в этом случае не подойдёт????

А почему нет?
Уравнение $x\times x=a$ разрешимо в группе $\left<\matbb{Q}\backslash\{0\}, \cdot \right>$ не для любых $a$, а в группе $\left<\matbb{Q}, + \right>$ - для любых.

Но с элементом порядка 2, IMHO, еще проще.

[flame19]

нет, я имела ввиду свойство кратности для алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$....

[paha]

flame19 в сообщении #395783 писал(а):

алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?