Изоморфизмы...

[arseniiv]

Мне подумалось, что это так коротко (и нехорошо: вот уже путаница) обозначены операции.

-- Чт янв 06, 2011 03:16:19 --

Т. е. «$(Q, x^2 + y^2)$» надо понимать как «$(Q, \circ) \text{, где } x \circ y = x^2 + y^2$»

[paha]

arseniiv в сообщении #395847 писал(а):

Т. е. «$(Q, x^2 + y^2)$» надо понимать как «$(Q, \circ) \text{, где } x \circ y = x^2 + y^2$»

а $Q$ что такое? и что за квадраты?

[VAL]

paha в сообщении #395845 писал(а):

flame19 в сообщении #395783 писал(а):

алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

А я по-другому понял:
В каждой алгебре (с носителем $\mathbb{Q}$) по одной бинарной операции.
В одной бинарная операция задана по правилу $x\times y = x^2+y^2$, а в другой - $x\star y = x^3+y^3+1$.
При такой интерпретации отсутствие изоморфизма доказывается просто.
Но я не уверен, что имелось в виду именно это.
Ждем ТС.

[flame19]

paha в сообщении #395845 писал(а):

flame19 в сообщении #395783 писал(а):

алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

Q значит, что множество в алгебре - это множество рациональных чисел. $ x^2 +y^2 $и $ x^3+y^3+1$ - это определение операций в алгебрах (обозначим её f) . Т.е. f(a,b)=$ a^2 +b^2 $ (в первой алгебре).

[VAL]

flame19 в сообщении #395912 писал(а):

paha в сообщении #395845 писал(а):

flame19 в сообщении #395783 писал(а):

алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

Q значит, что множество в алгебре - это множество рациональных чисел. $ x^2 +y^2 $и $ x^3+y^3+1$ - это определение операций в алгебрах (обозначим её f) . Т.е. f(a,b)=$ a^2 +b^2 $ (в первой алгебре).

Ура! Я победил!

Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.

[flame19]

Цитата:

Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.

чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный), а если ищем кубический корень, то ответ всегда один??? но тогда почему берём b=1? ведь подойдёт любое.... или я всё-таки не так поняла??

[paha]

flame19
Вы бы сформулировали вопрос... а? еще раз и полностью

Множество рациональных чисел стандартно обозначается значком \mathbb{Q}

-- Чт янв 06, 2011 22:16:14 --

flame19 в сообщении #396104 писал(а):

чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный)

или никакого... вотв $\mathbb{Q}$ нет корня из 2

[VAL]

flame19 в сообщении #396104 писал(а):

Цитата:

Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.

чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный), а если ищем кубический корень, то ответ всегда один??? но тогда почему берём b=1? ведь подойдёт любое.... или я всё-таки не так поняла??

Можно и на количестве решений сыграть. Но можно и по-другому. Во второй алгебре есть такой элемент $b$, что уравнение $a \star x = b$ будет разрешимо при любом $a$. А в первой - такого элемента нет. Этого достаточно для того чтобы утверждать, что алгебры не изоморфны.

[flame19]

paha
ну вот у нас множество рациональных чисел обозначается как Q... а вопрос доказать, что алгебры не изоморфны.

VAL
всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$. во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...

[paha]

flame19 в сообщении #396158 писал(а):

ну вот у нас множество рациональных чисел обозначается как Q

Неужели трудно написать красиво \mathbb{Q} -- получится $\mathbb{Q}$!

Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$

[VAL]

paha в сообщении #396188 писал(а):

Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$

Вашего простого способа я не понял.
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

-- 07 янв 2011, 09:38 --

flame19 в сообщении #396158 писал(а):

всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$.

Угу.
При этом не существует такого $b$, при котором корень будет извлекаться при любом $a$.

Цитата:

во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...

А Вы возьмите $b=1$. Тогда при любом $a$ решением будет $x=-a$ (которое Вы зачем-то обозвали игреком). Я ведь уже писал какое именно $b$ надо взять.

[paha]

VAL в сообщении #396194 писал(а):

Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал

-- Пт янв 07, 2011 10:25:07 --

во-вторых, flame19
у Вас просто множество с бинарной операцией, а никакая не алгебра (где есть структура линейного пространства и умножение, дистрибутивное относительно линейной структуры) ведь так?

[VAL]

paha в сообщении #396198 писал(а):

VAL в сообщении #396194 писал(а):

Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал

Я тоже ничего не утверждал. Я же знак вопроса поставил и написал, что не понял.

Что-то в этой ветке никто никого не понимает... Надеюсь, хотя бы Вы поняли мое обоснование отсутствия изоморфизма? :)

[flame19]

VAL в сообщении #396194 писал(а):

paha в сообщении #396188 писал(а):

Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$

Вашего простого способа я не понял.
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

-- 07 янв 2011, 09:38 --

flame19 в сообщении #396158 писал(а):

всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$.

Угу.
При этом не существует такого $b$, при котором корень будет извлекаться при любом $a$.

Цитата:

во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...

А Вы возьмите $b=1$. Тогда при любом $a$ решением будет $x=-a$ (которое Вы зачем-то обозвали игреком). Я ведь уже писал какое именно $b$ надо взять.

спасибо) вроде бы как прояснилось.... а с y это опечатка вышла)

-- Пт янв 07, 2011 16:58:34 --

paha в сообщении #396198 писал(а):

VAL в сообщении #396194 писал(а):

Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал

-- Пт янв 07, 2011 10:25:07 --

во-вторых, flame19
у Вас просто множество с бинарной операцией, а никакая не алгебра (где есть структура линейного пространства и умножение, дистрибутивное относительно линейной структуры) ведь так?

ну нам определение алгебры давали как раз, как множество, на котором определены какие-то операции...

[paha]

flame19 в сообщении #396321 писал(а):

ну нам определение алгебры давали как раз, как множество, на котором определены какие-то операции...

тогда уж говорите: бинарная алгебра -- сиречь множество с бинарной операцией со значениями в том же множестве

-- Пт янв 07, 2011 17:38:23 --

flame19 в сообщении #396321 писал(а):

вроде бы как прояснилось

Вас не затруднит привести здесь свой оформленный ответ вместе с условием?