Скалярное произведение зависит от базиса?

[ewert]

Munin в сообщении #394130 писал(а):

Я курса ОДУ в объёме Мехмата не слышал, не поделитесь, что есть теорема Пеано?

Теорема о том, что из только непрерывности правой части дифференциального уравнения следует существование решения (но не обязательно его единственность). Принципиально опирается на соображения компактности.

Munin в сообщении #394130 писал(а):

Тут ещё упоминались предгильбертовы, какие чаще встречаются?

Предгильбертово отличается от гильбертова отсутствием полноты. Уже упоминавшийся тут пример: пространство непрерывных функций -- предгильбертово, квадратично интегрируемых -- гильбертово. Разница в некотором смысле не очень принципиальна -- любое предгильбертово пространство можно пополнить с помощью стандартной процедуры; вопрос лишь в том, насколько конструктивным такое пополнение окажется в каждом конкретном случае. Собственно, интеграл Лебега и был сочинён для того, чтобы обеспечить конструктивное пополнение пространств с интегральной нормой (обычный интеграл Римана полноты не обеспечивал).

Munin в сообщении #394130 писал(а):

А пространства формальных рядов бывают?

Не слыхал или не припомню. В принципе, почему бы и нет, но это навскидку это выглядит вот именно экзотикой.

[Munin]

Спасибо большое!

Буду переваривать.

А ещё я слышал название "банахово пространство", что это такое и как с гильбертовым соотносится? И с евклидовым.

[ewert]

Munin в сообщении #394157 писал(а):

А ещё я слышал название "банахово пространство", что это такое и как с гильбертовым соотносится? И с евклидовым.

(Оффтоп)

Интересные вопросики...

Банахово пространство -- это линейное пространство с введённой на нём нормой, являющееся к тому же ещё и полным. Гильбертово пространство -- частный случай банахова, в котором норма порождена скалярным произведением (обычно предполагающееся бесконечномерным). Под евклидовым обычно понимают конечномерное вещественное пространство со скалярным произведением.

[Ales]

Munin в сообщении #394157 писал(а):

А ещё я слышал название "банахово пространство", что это такое и как с гильбертовым соотносится? И с евклидовым.

Например, линейное пространство непрерывных и сколько надо дифференцируемых функций.
Норма - максимум модулей самой функции и ее производных.

[moscwicz]

Ales
а что Вы скажите про пространство $C(0,1)$?

[Munin]

А есть практически полезные банаховы негильбертовы (и не предгильбертовы) пространства? (бесконечномерные, чтобы не отвлекаться)

[moscwicz]

например $L^p$ при $p>2$

[ewert]

только зачем больше двух-то?...

И да, всё это представляет интерес для теоретических целей (в плане доказательств), и гораздо меньший -- в плане вычислений (хотя иногда представляет). Что само по себе не есть ни хорошо, ни плохо; ну просто факт такой.

-- Пт дек 31, 2010 19:52:27 --

moscwicz в сообщении #394171 писал(а):

Ales
а что Вы скажите про пространство $C(0,1)$?

Боюсь,что эта придирка не очень в тему. Даже если те функции заданы на компакте: а что тогда подразумевать под их дифференцируемостью?... (если она предполагается)

Это я к тому, что в любом определении (ну во многих, ладно) присутствуют некие умолчания.

-- Пт дек 31, 2010 20:02:17 --

Munin в сообщении #394177 писал(а):

А есть практически полезные банаховы негильбертовы (и не предгильбертовы) пространства? (бесконечномерные, чтобы не отвлекаться)

Просто кстати. Конечномерных небанаховых вообще не бывает (не считая экзотики типа пространств над полем рациональных чисел)

[moscwicz]

ewert в сообщении #394195 писал(а):

только зачем больше двух-то?...

читайте вопрос, на который я ответил, поймете

ewert в сообщении #394195 писал(а):

moscwicz в сообщении #394171 wrote:
Ales
а что Вы скажите про пространство $C(0,1)$?

Боюсь,что эта придирка не очень в тему.

Я совсем не собирался придираться. Что-то Вы меня одергивать взялись. Я Вас своим гуру не выбирал, и спрашивать что мне писать и кому не собираюсь ,умерьте свои притязания.

ewert в сообщении #394195 писал(а):

Даже если те функции заданы на компакте: а что тогда подразумевать под их дифференцируемостью?... (если она предполагается)

Это я к тому, что в любом определении (ну во многих, ладно) присутствуют некие умолчания.

Говоря о пространстве $C(0,1)$ я хотел предложить подумать человеку о том, что очень важное пространство может оказаться не банаховым (хотя оно полное метрическое). Но Вы, судя по Вашим комментариям, этого тоже не уловили.

[ewert]

moscwicz в сообщении #394202 писал(а):

Но Вы, судя по Вашим комментариям, этого тоже не уловили.

Не уловил. Если там есть метрика -- то она тривиальна. А ежели её нет -- значит увы.

moscwicz в сообщении #394202 писал(а):

Что-то Вы меня одергивать взялись. Я Вас своим гуру не выбирал,

Ну нервничать-то зачем. Достаточно просто говорить конкретнее.

[moscwicz]

ewert в сообщении #394205 писал(а):

Если там есть метрика -- то она тривиальна

что Вы называете тривиальностью?

[Dan B-Yallay]

Munin писал(а):

Не могу я этого сказать, если всё, что знаю о предмете - только названия, да и их я только пока спрашиваю.

Кратко

$$ \begin{align*} & \text{Space} &&\hspace{30pt} \text{Norm} &&\hspace{30pt} \text{Dot (scalar) product}\\ & \mathbb R^3 && \|x\|=\sqrt{x_2^2+x_2^2+x_3^2} && (x,y)= x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\\ & \mathbb R^n && \|x\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} &&(x,y)= \sum_{i=1}^n x_iy_i \\ & \text{Hilbert}\ l_2 && \| x\|=\sqrt{\sum_{i=1}^\infty x_i^2} && (x,y)=\sum_{i=1}^\infty x_iy_i\\ & \text{Banach} \ l_p && \| x\|=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^\infty x_i^p} && ?? \\ & \text{Hilbert}\ L_2(\Omega) && \|x\|=\sqrt{\int_{\Omega}f^2(w)dw} && (f,g)=\int_{\Omega}f(w)g(w)dw \\ & \text{Banach}\ L_p(\Omega) && \|x\|=\sqrt[p]{\int_{\Omega}f^p(w)dw} && ?? \end{align*} $$

А есть еще пространства Соболева, Бохнера, Орлича...и все они чем-то полезны.

[moscwicz]

"??" означает, что нома не может быть задана скалярным произведением

[caxap]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Я заранее извиняюсь, мало в этом шарю, но вроде бы в $l_p$-норме $x$ должен под модулем стоять, т. к. $l_1$-норма -- это $\sum |x_i|$. Да и вообще при нечётном $p$. То же -- по отношению к $L_p$.

[Dan B-Yallay]

caxap в сообщении #394212 писал(а):

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Я заранее извиняюсь, мало в этом шарю, но вроде бы в $l_p$-норме $x$ должен под модулем стоять, т. к. $l_1$-норма -- это $\sum |x_i|$. Да и вообще при нечётном $p$. То же -- по отношению к $L_p$.

Совершенно верно, я прошляпил.
В формулах нормы для $l_p$ надо брать $\sum |x_i|^p$ а для $L_p$ - соответственно $\int |f|^p$ .

(Оффтоп)

Надеюсь бить сильно не будут.

-- Пт дек 31, 2010 11:19:09 --

moscwicz в сообщении #394211 писал(а):

"??" означает, что нома не может быть задана скалярным произведением

Или введенное скалярное произведение не может быть согласовано с нормой.