Скалярное произведение зависит от базиса?

[caxap]

Читаю Канатников, Крищенко "Линейная алгебра". Там сказано, что в евклидовом пространстве $\mathcal E$ задано скалярное умножение: функция $\mathcal E\times \mathcal E\to\mathbb R$, которая каждой паре векторов $x,y\in\mathcal E$ ставит в соответствие число $(x,y)\in \mathbb R$ и удовлетворяет четырём аксиомам.

Затем приводятся примеры. Напр. двум функциям $f,g\in C[0,1]$ ставится в соответствие $(f,g)=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx$. Тут всё хорошо.

Затем приводится такой пример: Фиксируем любой базис $(e_1,\ldots,e_n)$ и скалярным произведением векторов $x=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n$ и $y=y_1 e_1+\ldots+y_n e_n$ называют число $x_1 y_1+\ldots+x_n y_n$. Все аксиомы выполняются, но: скалярное произведение зависит от базиса. Но, по определению, скалярное умножение -- функция только от векторов, базис она не принимает. То есть с.п. не должно зависеть от базиса!

Поясните, пожалуйста. Хочу разобраться.

[gris]

Если базисы орнонормированные, то скалярное произведение в них инвариантно. А если нет, то увы.

[Ales]

caxap в сообщении #394067 писал(а):

Там сказано, что в евклидовом пространстве $\mathcal E$ задано скалярное умножение: функция $\mathcal E\times \mathcal E\to\mathbb R$, которая каждой паре векторов $x,y\in\mathcal E$ ставит в соответствие число $(x,y)\in \mathbb R$ и удовлетворяет четырём аксиомам.

Судя по этому определению, евклидово пространство - это линейное векторное пространство со скалярным произведением.
Чтобы получить из линейного пространства евклидово надо определить скалярное произведение - какую-то положительно определенную квадратичную форму.

Только после этого уже можно смотреть как эта форма (скалярное произведение) будет выглядеть в других координатах (базисах).

[ewert]

caxap в сообщении #394067 писал(а):

Фиксируем любой базис $(e_1,\ldots,e_n)$ и скалярным произведением векторов $x=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n$ и $y=y_1 e_1+\ldots+y_n e_n$ называют число $x_1 y_1+\ldots+x_n y_n$. Все аксиомы выполняются, но: скалярное произведение зависит от базиса.

Вовсе нет. Просто в другом базисе для этого скалярного произведения будет другая формула; ну и что?...

[Ales]

caxap в сообщении #394067 писал(а):

Затем приводятся примеры. Напр. двум функциям $f,g\in C[0,1]$ ставится в соответствие $(f,g)=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx$. Тут всё хорошо.

Это гильбертово пространство, бесконечномерное.
Евклидово - конечное число измерений.

[ewert]

Ales в сообщении #394072 писал(а):

надо определить скалярное произведение - какую-то положительно определенную квадратичную форму.

Только не квадратичную, а билинейную (хотя фактически достаточно и квадратичной, но это уже -- совсем-совсем следующий вопрос).

[moscwicz]

caxap в сообщении #394067 писал(а):

Затем приводится такой пример: Фиксируем любой базис $(e_1,\ldots,e_n)$ и скалярным произведением векторов $x=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n$ и $y=y_1 e_1+\ldots+y_n e_n$ называют число $x_1 y_1+\ldots+x_n y_n$. Все аксиомы выполняются, но: скалярное произведение зависит от базиса.

Нет не зависит. Тут подразумевается, что при переходе к другому базису формула $x_1 y_1+\ldots+x_n y_n$ изменится и изменить ее нужно именно так, что бы скалярное произведение сохранилось.

[ewert]

Ales в сообщении #394075 писал(а):

Это гильбертово пространство,

И, кстати, оно не гильбертово, а лишь предгильбертово.

[Ales]

ewert в сообщении #394076 писал(а):

Ales в сообщении #394072 писал(а):

надо определить скалярное произведение - какую-то положительно определенную квадратичную форму.

Только не квадратичную, а билинейную (хотя фактически достаточно и квадратичной, но это уже -- совсем-совсем следующий вопрос, а изначально говорят именно и билинейной).

Точно, конечно же, билинейную, симметричную, положительно определенную: $(x,y)$.

-- Пт дек 31, 2010 12:01:22 --

ewert в сообщении #394078 писал(а):

Ales в сообщении #394075 писал(а):

Это гильбертово пространство,

И, кстати, оно не гильбертово, а лишь предгильбертово.

Да, конечно, гильбертово пространство - полное.

[ewert]

(Оффтоп)

Ну и философский вопрос: почему постоянно говорят о четырёх аксиомах, когда их -- всего три?...

[caxap]

ewert в сообщении #394073 писал(а):

Просто в другом базисе для этого скалярного произведения будет другая формула; ну и что?...

moscwicz в сообщении #394077 писал(а):

Нет не зависит. Тут подразумевается, что при переходе к другому базису формула изменится и изменить ее нужно именно так, что бы скалярное произведение сохранилось.

Аа... Ясно! Спасибо.

ewert в сообщении #394080 писал(а):

Ну и философский вопрос: почему постоянно говорят о четырёх аксиомах, когда их -- всего три?...

1) коммутативность, 2) ассоциативность с числом, 3) дистрибутивность $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$, 4) скалярный квадрат неотрицателен и $(x,x)=0\iff x=0$.

[ewert]

caxap в сообщении #394081 писал(а):

1) коммутативность, 2) ассоциативность с числом, 3) дистрибутивность $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$, 4) скалярный квадрат неотрицателен и $(x,x)=0\iff x=0$.

Ну тут, между прочим, не четыре аксиомы выписано, а пять: четвёртый пункт -- это не одна аксиома, а две. Именно это как раз и выглядит явно избыточным, т.к. хватило бы одной: $(x,x)>0\ (\forall x\neq0)$. А что касается п.п. 2 и 3 (однородность и аддитивность), то я лично предпочитаю объединять их в одну аксиому линейности, но это уже действительно дело вкуса.

[Munin]

Ales в сообщении #394075 писал(а):

Это гильбертово пространство, бесконечномерное. Евклидово - конечное число измерений.

А вот какие существуют бесконечномерные пространства с нормами и/или скалярными произведениями, аналогичные евклидову конечного числа измерений?

[ewert]

Munin в сообщении #394091 писал(а):

аналогичные евклидову конечного числа измерений?

а в каком смысле аналогичные?

[Munin]

ewert в сообщении #394092 писал(а):

а в каком смысле аналогичные?

Огласите, пожалуйста, весь список. Ну или хотя бы наиболее часто встречающуюся его часть, без маргинальной экзотики.

Я хочу представлять себе меню, из которого реально происходит выбор в разных жизненных ситуациях.