Алгебры и семимерная сфера

[Bulinator]

Это же должно быть очевидно. Пусть $|a|=1$.
Очевидно, что преобразования видя
$x\to ax$ сохраняют норму $x$. Отсюда, в частности должно следовать, что преобразование линейно по $x$(все преобразования, сохраняющие длину есть либо вращения либо трансляции. Последних у нас нет.). Я бы разложил $(ax)_i$ в ряд Тейлора по $x$ и показал бы, что все ненужные коэффициенты обнуляются, но уверен, что Вы сажете, что функция $f_i(a,x)\equiv (ax)_i$ необязательно разлогается в ряд.

[paha]

уболтали:)

[Bulinator]

paha в сообщении #393731 писал(а):

уболтали:)

Всмысле убедил или надоел?

[paha]

кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?

[Bulinator]

Так можно в Тейлора разлогать или нет? Почему?

-- Чт дек 30, 2010 16:31:47 --

paha в сообщении #393776 писал(а):

кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?

Видимо нельзя, ибо тут доказали, что гладкая структура существует только на $S^1$ и $S^3$и больше ни на одной сфере. Т.е. в особых размерностях, которые следуют из теоремы Гурвица.

-- Чт дек 30, 2010 16:33:16 --

$S^7=SO(8)/SO(7)$- это поможет?

[paha]

Bulinator в сообщении #393779 писал(а):

Так можно в Тейлора разлогать или нет? Почему?

легче сразу сослаться на то, что изометрия -- линейное отображение

Bulinator в сообщении #393779 писал(а):

гладкая структура существует только на $S^1$ и $S^3$и больше ни на одной сфере

гладкая структура есть на любой сфере, а гладкая групповая -- на $S^0$, $S^1$ и $S^3$

Bulinator в сообщении #393779 писал(а):

$S^7=SO(8)/SO(7)$- это поможет?

так любую сферу представить можно

-- Чт дек 30, 2010 14:39:44 --

я к тому спрашивал, что утверждение сводится к отсутствию структуры ассоциативной нормированной алгебры на $\mathbb{R}^8$ -- это заведомо более слабое утверждение, чем упомянутая теорема

[Bulinator]

paha в сообщении #393776 писал(а):

пушку как теорема Гурвица?

Да что там доказывать?
Случай, когда $n=1$ очевиден.
$|xy|=x_m \gamma^m_{lj}y_j x_k\gamma^k_{li}y_i=x_mx_k((\gamma^m)^T\gamma^k)_{ji}y_iy_j=|x||y|=x_m x_k\delta_{mk} y_iy_j\delta_{ij}$
Или $(\gamma^m)^T\gamma^k+(\gamma^k)^T\gamma^m=2\delta^{mk}{\bf 1}$
Обозначим $\tilde{\gamma}^\mu=(\gamma^n)^T\gamma^\mu,\quad \mu=1,\ldots,n-1$.
Получим
$(\tilde{\gamma}^\mu)^T=-(\tilde{\gamma})^\mu$
$\left\{\tilde{\gamma}^\mu,\tilde{\gamma}^\nu\right\}=-2\delta^{\mu\nu}{\bf 1}\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$
Далее, размерность неприводимых представлений алгебры Клиффорда с $n-1$ образующими есть
$2^{(n-1)/2}$ для четных и $2^{(n-2)/2}$ для нечетных $n$. С другой стороны размерность у нас и так равна $n$ и следовательно оно должно делиться на размерность неприводимых представлений. Вывод: $n$-четно, а следовательно $n\quad mod\quad 2^{(n-2)/2}=0$. Т.е. $n=2,4,8$.

[paha]

Bulinator


Я просил доказать (не пользуясь теоремой Гурвица) утверждение
На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру

paha в сообщении #393780 писал(а):

ассоциативной нормированной алгебры

а Вы?

[Bulinator]

paha
Вы решение знаете или нет?

[paha]

Bulinator в сообщении #393851 писал(а):

Вы решение знаете или нет?

ну при чем тут "решение"?-))

Я не могу (без ссылок на теорему Гурвица) доказать, что

paha в сообщении #393848 писал(а):

На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру
paha в сообщении #393780 писал(а):
ассоциативной нормированной алгебры

[Bulinator]

paha в сообщении #393854 писал(а):

ну при чем тут "решение"?-))

Неправильно выразился. Должно было быть "ответ знаете"?

[paha]

Bulinator в сообщении #393856 писал(а):

Должно было быть "ответ знаете"?

ответ на какой вопрос?

Я задавал следующие вопросы:

1)

paha в сообщении #393776 писал(а):

кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?

2)

paha в сообщении #393848 писал(а):

а Вы?

(что имели ввиду

в сообщении #393845 писал(а):

)

первый из этих вопросов я прокомментировал так:

paha в сообщении #393854 писал(а):

Я не могу (без ссылок на теорему Гурвица) доказать, что
paha в сообщении #393848 писал(а):
На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру
paha в сообщении #393780 писал(а):
ассоциативной нормированной алгебры

ответа на второй я не знаю:(

[Bulinator]

Ответ на второй вопрос:
а я пытался ответить на Ваш вопрос, но как ни старался у меня, все равно, получалась теорема Гурвица .

[paha]

Ну как же Вы отвечали на мой вопрос про $\mathbb{R}^8$ словами

Bulinator в сообщении #393845 писал(а):

Да что там доказывать?
Случай, когда $n=1$ очевиден.

[Bulinator]

paha в сообщении #393880 писал(а):

Ну как же Вы отвечали на мой вопрос про $\mathbb{R}^8$ словами

Это был вопль бессилия