2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Это же должно быть очевидно. Пусть $|a|=1$.
Очевидно, что преобразования видя
$x\to ax$ сохраняют норму $x$. Отсюда, в частности должно следовать, что преобразование линейно по $x$(все преобразования, сохраняющие длину есть либо вращения либо трансляции. Последних у нас нет.). Я бы разложил $(ax)_i$ в ряд Тейлора по $x$ и показал бы, что все ненужные коэффициенты обнуляются, но уверен, что Вы сажете, что функция $f_i(a,x)\equiv (ax)_i$ необязательно разлогается в ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
уболтали:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
paha в сообщении #393731 писал(а):
уболтали:)

Всмысле убедил или надоел? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Так можно в Тейлора разлогать или нет? Почему?

-- Чт дек 30, 2010 16:31:47 --

paha в сообщении #393776 писал(а):
кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?

Видимо нельзя, ибо тут доказали, что гладкая структура существует только на $S^1$ и $S^3$и больше ни на одной сфере. Т.е. в особых размерностях, которые следуют из теоремы Гурвица.

-- Чт дек 30, 2010 16:33:16 --

$S^7=SO(8)/SO(7)$- это поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator в сообщении #393779 писал(а):
Так можно в Тейлора разлогать или нет? Почему?

легче сразу сослаться на то, что изометрия -- линейное отображение


Bulinator в сообщении #393779 писал(а):
гладкая структура существует только на $S^1$ и $S^3$и больше ни на одной сфере

гладкая структура есть на любой сфере, а гладкая групповая -- на $S^0$, $S^1$ и $S^3$

Bulinator в сообщении #393779 писал(а):
$S^7=SO(8)/SO(7)$- это поможет?

так любую сферу представить можно

-- Чт дек 30, 2010 14:39:44 --

я к тому спрашивал, что утверждение сводится к отсутствию структуры ассоциативной нормированной алгебры на $\mathbb{R}^8$ -- это заведомо более слабое утверждение, чем упомянутая теорема

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
paha в сообщении #393776 писал(а):
пушку как теорема Гурвица?

Да что там доказывать?
Случай, когда $n=1$ очевиден.
$|xy|=x_m \gamma^m_{lj}y_j x_k\gamma^k_{li}y_i=x_mx_k((\gamma^m)^T\gamma^k)_{ji}y_iy_j=|x||y|=x_m x_k\delta_{mk} y_iy_j\delta_{ij}$
Или $(\gamma^m)^T\gamma^k+(\gamma^k)^T\gamma^m=2\delta^{mk}{\bf 1}$
Обозначим $\tilde{\gamma}^\mu=(\gamma^n)^T\gamma^\mu,\quad \mu=1,\ldots,n-1$.
Получим
$(\tilde{\gamma}^\mu)^T=-(\tilde{\gamma})^\mu$
$\left\{\tilde{\gamma}^\mu,\tilde{\gamma}^\nu\right\}=-2\delta^{\mu\nu}{\bf 1}\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$
Далее, размерность неприводимых представлений алгебры Клиффорда с $n-1$ образующими есть
$2^{(n-1)/2}$ для четных и $2^{(n-2)/2}$ для нечетных $n$. С другой стороны размерность у нас и так равна $n$ и следовательно оно должно делиться на размерность неприводимых представлений. Вывод: $n$-четно, а следовательно $n\quad mod\quad 2^{(n-2)/2}=0$. Т.е. $n=2,4,8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator


Я просил доказать (не пользуясь теоремой Гурвица) утверждение
На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру
paha в сообщении #393780 писал(а):
ассоциативной нормированной алгебры


а Вы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
paha
Вы решение знаете или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator в сообщении #393851 писал(а):
Вы решение знаете или нет?

ну при чем тут "решение"?-))

Я не могу (без ссылок на теорему Гурвица) доказать, что
paha в сообщении #393848 писал(а):
На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру
paha в сообщении #393780 писал(а):
ассоциативной нормированной алгебры

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
paha в сообщении #393854 писал(а):
ну при чем тут "решение"?-))

Неправильно выразился. Должно было быть "ответ знаете"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator в сообщении #393856 писал(а):
Должно было быть "ответ знаете"?

ответ на какой вопрос?

Я задавал следующие вопросы:

1)
paha в сообщении #393776 писал(а):
кстати, можно ли доказать отсутствие структуры (гладкой) группы на $S^7$ без ссылки на такую пушку как теорема Гурвица?


2)
paha в сообщении #393848 писал(а):
а Вы?
(что имели ввиду
в сообщении #393845 писал(а):
)

первый из этих вопросов я прокомментировал так:
paha в сообщении #393854 писал(а):
Я не могу (без ссылок на теорему Гурвица) доказать, что
paha в сообщении #393848 писал(а):
На $\mathbb{R}^8$ нельзя ввести структуру
paha в сообщении #393780 писал(а):
ассоциативной нормированной алгебры


ответа на второй я не знаю:(

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Ответ на второй вопрос:
а я пытался ответить на Ваш вопрос, но как ни старался у меня, все равно, получалась теорема Гурвица :-).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Ну как же Вы отвечали на мой вопрос про $\mathbb{R}^8$ словами
Bulinator в сообщении #393845 писал(а):
Да что там доказывать?
Случай, когда $n=1$ очевиден.


:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры и семимерная сфера
Сообщение30.12.2010, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
paha в сообщении #393880 писал(а):
Ну как же Вы отвечали на мой вопрос про $\mathbb{R}^8$ словами

Это был вопль бессилия :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group