Уравнение Шредингера в квантовой теории поля

[Munin]

В Берестецком-Лифшице-Питаевском показано:
$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\Psi=0$
$\gamma^0(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\Psi=0$
$\gamma^0(i(\gamma^0\partial_t-\gamma\nabla)-m)\psi\Psi=0$
$(i\partial_t-(i\mathbf{\alpha}\nabla+\beta m))\psi\Psi=0$
$(i\partial_t-H)\psi\Psi=0$
так что разница состоит в умножении на $\gamma^0,$ что по сути ничего не меняет (в Боголюбове-Ширкове это даже не упоминается из-за банальности, есть только в другом Боголюбове-Ширкове, Дополнение II пункт 4).

-- 28.12.2010 01:00:09 --

ИгорЪ в сообщении #392605 писал(а):

Если уж вам хочется писать большую пси справа, то почему бы не написать её и слева, и тогда это будет уравнение движения "в среднем", типа теоремы Эренфеста.

Нет, чтобы получить "уравнение движения в среднем", надо написать не только сопряжённую слева, но и взять интеграл. А тут точное уравнение.

[ИгорЪ]

Всё так. Но.
1.Почему это УШ а не УД в форме УШ? Вы можете повторить тот же самый вывод для КГ? Там ведь вторая производная по времени. По вашему берем любое уравнение движения, пишем его квантовый вариант во "втором смысле" и группируя слева производную по времени получаем УШ?
2.Физ смысл второго уравнения вы можете озвучить? Только чур не констатировать очередной раз,что есть операторы и амплитуды и это и есть КТП.
3. Я вот только такое могу предложить если слева тоже "ПСИ": это условие для отбора физических состояний $\Psi_1(i\partial_t-H)\psi\Psi_2=0$, по аналогии со способом введения условия Лоренца при квантовании ЭЛМ поля.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #392711 писал(а):

1.Почему это УШ а не УД в форме УШ?

Потому что любое уравнение в форме УШ - это УШ. Частный случай УШ, если угодно.

ИгорЪ в сообщении #392711 писал(а):

Вы можете повторить тот же самый вывод для КГ?

Нет, там будет сложнее.

ИгорЪ в сообщении #392711 писал(а):

По вашему берем любое уравнение движения, пишем его квантовый вариант во "втором смысле" и группируя слева производную по времени получаем УШ?

Нет. Всё сложней. Во-первых, чтобы "написать квантовый вариант во втором смысле", требуется произвести сложное действие: проквантовать теорию. Во-вторых, если это сделано, то тогда УШ пишется элементарно: производная по времени равна функционалу энергии, записанному через результат квантования. Просто в случае Дирака можно сделать это быстрее и записать УШ сразу.

ИгорЪ в сообщении #392711 писал(а):

2.Физ смысл второго уравнения вы можете озвучить? Только чур не констатировать очередной раз,что есть операторы и амплитуды и это и есть КТП.

Вот это главный вопрос. На него можно ответить кратко только двумя способами: констатировать нечто в некоторых терминах, которые вам незнакомы, либо отослать к учебникам. Можно ответить полно: пересказать учебник. Мне не хочется второго, вам не хочется первого. Давайте так: вы скажете, какие термины и понятия вы знаете, я в них постараюсь этот смысл выразить. Не зная, на какую базу я могу опираться, я не смогу ничего сэкономить.

Начать можно вот с чего: вам известно, что такое оператор физической величины, и какой физический смысл имеет его применение к вектору состояния? Точнее, будем говорить сразу о представлении Гейзенберга, и об операторе физической величины в заданный момент времени, $f(t).$ Особенно, если движение квантовой системы происходит в пространстве с обобщёнными координатами $q_i,$ то какой физический смысл имеют операторы $q_i(t),$ и какой физический смысл имеет $q_i(t)\Psi$? А так же соответствующие им операторы обобщённых импульсов $p_i(t)$?

-- 28.12.2010 16:45:38 --

ИгорЪ в сообщении #392711 писал(а):

при квантовании ЭЛМ поля.

Кстати, если квантование электромагнитного поля вам знакомо, то я вообще не понимаю, какие проблемы. Уравнение Максвелла точно так же становится уравнением Шрёдингера, как и уравнение Дирака. Функция $A(x,y,z,t)$ точно так же становится оператором, как и функция $\psi(x,y,z,t),$ всего-то и различие, что одна векторная, а другая спинорная. Более того, уравнение Максвелла в форме Майорана (Ахиезер-Берестецкий § 2.1, тж. см. Б-Ш § 4.4) и выглядит как уравнение Дирака:
$\Gamma^\mu p_\mu\Phi=(i\Gamma^\mu\partial_\mu)\Phi=0$
(в случае КТП снова подразумевается приписанной справа $\Psi$).

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #392782 писал(а):

Потому что любое уравнение в форме УШ - это УШ.

очень веский довод

Munin в сообщении #392782 писал(а):

Нет, там будет сложнее.

Думаю там это попросту невозможно.

Munin в сообщении #392782 писал(а):

требуется произвести сложное действие: проквантовать теорию. Во-вторых, если это сделано, то тогда УШ пишется элементарно: производная по времени равна функционалу энергии, записанному через результат квантования.

Так я вроде это и предлагал

ИгорЪ в сообщении #391423 писал(а):

$i\/\partial\Psi/\partial t=(\sum p_i^2/2m_i+U)\Psi$)$ - это не квантополевой гамильтониан, вот впишите туда $H=\int T_{00}dx$ где $T_{00}$ компонента ТЭИ какой нибудь лоренцинвариантной теории поля. ?

где под интегралом операторнозначные поля.

Munin в сообщении #392782 писал(а):

На него можно ответить кратко только двумя способами: констатировать нечто в некоторых терминах, которые вам незнакомы, либо отослать к учебникам

А вы считайте что я всё это знаю. Я даже могу предположить что вы ответите про смысл. Что нибудь про тестовую функцию, с которой сворачивается операторное поле?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #392859 писал(а):

А вы считайте что я всё это знаю.

Считал. И дал ответ. А вы его не поняли. Продолжать считать? Тогда я дам тот же ответ, а вы его не хотите.

Что такое операторнозначное поле, по-вашему?

[peregoudov]

У Боголюбова---Ширкова в уравнении Шредингера стоит гамильтониан, как минимум квадратичный по спинору $\psi$, а в члене с производной волновой функции по времени никакой $\psi$, наоборот, нет.

[Munin]

peregoudov
Приведите уравнение, о котором говорите, пожалуйста. Если из Боголюбова-Ширкова, то желательно даже с номером формулы.

[peregoudov]

У меня старое издание (1957 года), нумерация не совпадет. А что вам непонятно? Что гамильтониан свободного поля имеет вид $H=\sum_k\varepsilon_k a^\dag_k a_k$? Что это выражение квадратично по операторам рождения/уничтожения и из линейного по $\psi$ получено быть не может? Что уравнение Шредингера имеет вид

$$ i\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi $$

и в левой части никакого малого $\psi$ нету? Я думаю, вам нужно просто самому прочитать то, на что вы ссылаетесь, в частности, ту главу у Боголюбова---Ширкова, которая в моем издании называется "Уравнение Шредингера и динамические переменные". А то вы на пару с Булинатором уже пять страниц лечите автора темы от болезни, которой больны сами

[Bulinator]

(Оффтоп)

Сначала думал что ответить. Но потом пришел к выводу, что нечему отвечать.
Пришел человек, решил за нас что мы имели ввиду, разнес эту мысль в пух и прах и ушел. Ради бога, peregoudov, если это Вам доставляет удовольствие, валяйте- высказывайте заранее неправильную мысль, присваивайте ее, например, мне, ругайтесь со мной и побеждайте. Только меня в это не впутывайте, пожалуйста. Развлекайтесь у зеркала. Можете даже руками неприличные жесты показывать. Я не обижусь

[Утундрий]

Munin
Ежели не секрет, откудова почерпнули концепцию Общего Уравнения Шрёдингера? Мне вот как и казалось, так и кажется, что Шрёдингер (при всём уважении к его Котам) кагбэ к У.Д. отношениёв не имеет.

[Munin]

peregoudov в сообщении #393442 писал(а):

в левой части никакого малого $\psi$ нету?

Да. Заметил. Действительно, уравнение Дирака в квантовополевом виде уравнением Шрёдингера не является. В то же время, получается, выписать уравнение Шрёдингера можно только после квантования поля (получив операторы $a$ и $b$ - для Дираковского поля $H=\sum\varepsilon(a^{+}_ka_k+b^{+}_kb_k),$ или $T^{00}=i/2:(\psi^{+}\gamma^0\partial_t\psi-(\partial_t\psi^{+})\gamma^0\psi):$ - тоже только после квантования), а уравнение Дирака образует другое уравнение, впрочем, тоже являющееся уравнением движения.

-- 29.12.2010 22:08:56 --

Утундрий в сообщении #393537 писал(а):

Ежели не секрет, откудова почерпнули концепцию Общего Уравнения Шрёдингера?

Из Ландау Лифшица Третьего.

Утундрий в сообщении #393537 писал(а):

Мне вот как и казалось, так и кажется, что Шрёдингер (при всём уважении к его Котам) кагбэ к У.Д. отношениёв не имеет.

Ну да, Дирак его из пальца высосал.

[Утундрий]

Ну, не совсем из пальца - были ж еще Клейн, Гордон и Фок.
Но я немного о другом: У.Ш. у меня прочно заассоциированно на нерелятивистское соотношение промежду энергией и импульсом. А вот все прочие релятивистские полевые уравнения хоть и могут быть приведены к как-бы Шрёдингеровой форме, но все ж идентификации от этого не теряют. Ну совершенно непонятно, откуда эта Всеобщая Шрёдингеровость произросла?

[Munin]

Утундрий в сообщении #393544 писал(а):

Ну, не совсем из пальца - были ж еще Клейн, Гордон и Фок.

Ага. А они - уже из пальца. Шрёдингер ни причём, как же, как же.

Утундрий в сообщении #393544 писал(а):

Но я немного о другом: У.Ш. у меня прочно заассоциированно на нерелятивистское соотношение промежду энергией и импульсом.

Это частный вид УШ, выписанный Шрёдингером :-) Его довольно быстро обобщили на произвольный гамильтониан, кажется, как раз за счёт перекидывания мостика в матричную механику Гейзенберга (у того гамильтониан был произволен), что сделал чуть ли не тот самый Дирак, из пальца которого... в доме, который построил Джек.

Утундрий в сообщении #393544 писал(а):

А вот все прочие релятивистские полевые уравнения хоть и могут быть приведены к как-бы Шрёдингеровой форме, но все ж идентификации от этого не теряют.

А я сказал, что теряют?

Утундрий в сообщении #393544 писал(а):

Ну совершенно непонятно, откуда эта Всеобщая Шрёдингеровость произросла?

Ну надо же как-то в общем виде рассуждать. Не занимаясь перечислением конкретных случаев (причём ставя многоточие, вдруг кто-то ещё что-то откроет или придумает).

[Утундрий]

Munin, на всякий случай, еще раз: вопрос онли терминологический. Заявите, что это Вы сами выдумали и с мене таки хватит.

Впрочем, похоже, уже заявили:

Munin в сообщении #393557 писал(а):

Ну надо же как-то в общем виде рассуждать.

За сим вопрос считаю закрытым

[Munin]

Вы, наверное, для $i\partial_t\Psi=H\Psi$ знаете другое, более правильное название.