Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто

[Brukvalub]

Даже не знаю что и сказать...Знаю! Вы совсем не хотите подумать.

[Ulya]

да почему не хочу.Остался последний шаг..помогите.

[Ulya]

Цитата:

Примените отображение к последовательности (1; 0; 0; 0;...) и вычислите норму образа - этот пример докажет неулучшаемость оценки.

Почему именно такой пример-то?!!

[Capella]

Ulya писал(а):

Вот так значит получается:

$$\left| {F(x)} \right| = \sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {x^k } \right|}}{{2^k }}} \le \frac{1}{2}\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{2^k }}} \cdot \left\| x \right\| = \frac{{\left\| x \right\|}}{2}$$

Значит,$\left\| F \right\| = \frac{1}{2}$.
А вот почему оценку нельзя улучшить? (т.е. константу C)?

Сорри, что влезаю, но мне кажется непонимание идёт из-за того, что на самом деле $k$ это не степень, это индекс у $x_k$. Brukvalub даёт Вам последовательность, которая в общем виде записывается вот так: $ x = ( x_1, x_2, \dots, x_k, \dots ) = (1,0, \dots, 0)$. Но задайтесь вопросом, что за константу даст Вам первый член? И действительно, вычислите просто норму, полагая $x_1 =1$, а все остальные обнуляются

[Ulya]

Я вычислила: $\left\| F \right\| = \frac{1}{2}$.
Ну так то,что мы возьмем последовательность 1,0,0,0.... не говорит,что оценку улучшить нельзя!

[Capella]

Ulya

Не говорит. Потому что действиетльно нельзя улучшить (кстати улучшить означает уменьшить). Ваши константы тоже зависят от $k$, но при этом $k$ стоит в отрицательной степене, значит чем больше индекс, тем меньше будет константа. На это и опираемся.

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

Я вычислила: $\left\| F \right\| = \frac{1}{2}$.
Ну так то,что мы возьмем последовательность 1,0,0,0.... не говорит,что оценку улучшить нельзя!

Да говорит, говорит, даже кричит и шепчет. Норма последовательности 1,0,0,0.... в пр-ве
$l_{\infty}$ равна 1, норма образа этой последовательности в пр-ве math]$l_1$[/math] равна 0,5 ,норма оператора есть супремум норм векторов его значений на единичной сфере и, поэтому, не может быть меньше нормы его значения в любой точке этой сферы, в частности меньше нормы образа последовательности 1,0,0,0...., то есть числа 0,5.
С другой стороны, ранее было доказано, что норма не превосходит 0,5. Полученное двойное нер-во для нормы доказывает, что $\left\| F \right\| = 0,5$. Напишите, хотя бы теперь понятно?

[Capella]

Чтобы понять идею, можно сравнить вот таких два ряда: $\sum_{k=1}^{n} a^{-1}\cdot x_k$ и $\sum_{k=1}^{n} a^{-k} \cdot x_k$ где $x_k = 1, \forall a,k \in \mathbb{N}$. Найдите, при каких $n$ ряды равны, а так-же какой ряд больше для других значений $n$.

[Ulya]

Т.е. из моих выкладок следует,что $\left\| F \right\| \le \frac{1}{2}$,а из ваших (я про последовательность),что $\left\| F \right\| = \frac{1}{2}$.Отсюда,следует что норма равна $1/2$

[Brukvalub]

Да.

[lollek]

Вот интересно - это какая Юля - из пм103 или пм203?:)
Смотрю вот на рассуждения мехматовцев и думаю.. хорошо все таки что в мгу я не попал...
А с нормой нехорошо получилось.. я в своем типовике тоже 1 насчитал, а наверняка 1/2 выйдет
ТТ

[PAV]

PAV:

lollek

[Ulya]

Подскажите как найти норму для таких похожих функционалов:

$$ \begin{array}{l} F:C\left[ { - 1,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 {ty(t)dt} ,\left\| {y(t)} \right\| = \int_{ - 1}^1 {\left| {y(t)} \right|dt} \\ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 {\sqrt t y(t^2 )dt} ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 {\sqrt t y(t^2 )dt} ,\left\| {y(t)} \right\| = \int_0^1 {\left| {y(t)} \right|dt} \\ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 {\frac{{y(t)}}{{\sqrt t }}dt} ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ F:C\left[ {0,1} \right] \to R,F(y) = \int_0^1 {y(t)\sin (t)dt} ,\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0,1} \right]} \left| {y(t)} \right| \\ \end{array} $$

Я вот первый начала оценивать,а дальше не знаю как продолжить.КАк другие оценить?:
$[math]\left| {F(y)} \right| = \left| {\int_0^1 {ty(t)dt} } \right| \le \int_0^1 {\left| t \right|\left| {y(t)} \right|dt} \le \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0,1} \right]} \left| t \right|\int_0^1 {\left| {y(t)} \right|dt} = \int_0^1 {\left| {y(t)} \right|dt}$[/math]

Добавлено спустя 2 часа 43 минуты 3 секунды:

Скажите.Такое неравенство справедливо:
$\int_0^1 {\left| {y(t)} \right|dt \le } \int_{ - 1}^1 {\left| {y(t)} \right|dt} $

[Falex]

Да.действительо справедливо.

[Brukvalub]

Цитата:

Скажите.Такое неравенство справедливо:
$\int_0^1 {\left| {y(t)} \right|dt \le } \int_{ - 1}^1 {\left| {y(t)} \right|dt} $

Если функция $y(t)$ определена на множестве [-1 , 0), то - справедливо.