Хотел ещё посочинять, но думаю и так будет понятно: cn.pdf
Мне кажется, Вы пытаетесь изобрести велосипед с квадратными колёсами.
Наверное, я всё-таки непонятно там написал ;) Давайте я тут перескажу и задам вопросы. Да, всё это не имеет отношение к нестандартному анализу - обычные теоретико-множественные и алгебраические построения.
2ч.) Обычно берут поле и в нём выделяют множество простых элементов (однозначность разложения на которые может быть, а может и нет). Можно ли сделать наоборот? Т.е. взять n элементов как множество простых и вокруг него построить поле с необходимыми свойствами? У меня там получилось это сделать обще-топологически, причём основной момент в том, что нужно использовать множества с порядком и повторениями, также и топологии должны быть такими.
3ч.) Другая идея это prime basis, я говорю что Gödel numbering "похоже" потому что там тоже используется эта идея. Её суть проста - всякому элементу из
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
, например
![$140/11 = 2^2 3^0 5^1 7^1 11^{-1} 13^0 \dots$ $140/11 = 2^2 3^0 5^1 7^1 11^{-1} 13^0 \dots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/3/5a36f918d489d30d075f89ca8e22ca7082.png)
(и только так - основная теорема арифметики), можно поставить в соответствие элемент из
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
, в данном случае -
![$(2, 0, 1, 1, -1, 0, ...)$ $(2, 0, 1, 1, -1, 0, ...)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a915bc23d8ab0d69f4a2b01b48194bb782.png)
(тоже только так - единственность разложения по базису). Т.е. всякому конечному числу из
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
соответсвует конечное число из
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
, и наоборот. Однако
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
- несчётно, т.е. в области бесконечных "чисел" (векторов) в
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
есть что-то, чего нет в
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
- что это?
4ч.) Вся теория делимости и прочие мультипликативные свойства числел
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
оказываются в
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
связаны с положением векторов, их подпространств, фактор-пространств, гипер-кубов и т.д. Т.е. становятся геометрическими свойствами. Мультипликативная группа
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
превращается в абелеву группу сдвигов (или абелева группа векторного сложения), возведению в степень соответствует группа растяжений (того - трансляции и гомотетии). Должно быть, всё это наивные построения - в алгебраической теории чисел должен быть более "продвинутый" аналог этого изоморфизма
![$\mathbb{Q}$ \to \mathbb{Z}^\infty $\mathbb{Q}$ \to \mathbb{Z}^\infty](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/a/a6aa6018e6b02ff75c656facee8068c982.png)
, и соответсвующая техника решать мультипликативные задачи в терминах алгебраической геометрии - вот я и спрашиваю, в какую сторону смотреть?
5ч.) Можно пытаться построить в
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
аналог сложения в
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
- связать с группой вращений (в
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
это
![$S_\infty$ $S_\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/8/6c82a020eaa9b1a97ffe620aa984dc9082.png)
и
![$P_\infty$ $P_\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/8846b191bb394f86adea928e4ce9af3c82.png)
) или c билинейными формами. Но вообще я думаю, что это не имеет смысла - может иметь смысл строить
![$\mathbb{Z}^\infty$ $\mathbb{Z}^\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c6e87469aedfa6e2d1fb655d3de4ce82.png)
для аддитивной группы
![$\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f452ec0bcf578fa387e4857f80f03f482.png)
отдельно. И далее - линейные отображения. Т.е. изоморфизм
![$(<\mathbb{Q}, \cdot, 1, ^{-1}>, <\mathbb{Q}, +, 0, ->) \to (<\mathbb{Z}^\infty, \oplus, \vec{0}, \ominus>, <\mathbb{Z}^\infty, \diamond, \vec{?}, ?>)$ $(<\mathbb{Q}, \cdot, 1, ^{-1}>, <\mathbb{Q}, +, 0, ->) \to (<\mathbb{Z}^\infty, \oplus, \vec{0}, \ominus>, <\mathbb{Z}^\infty, \diamond, \vec{?}, ?>)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/d/01d7ac197f7bc6b9733408f27d0b471e82.png)
. Есть ли аналогичная геометрическая техника для аддитивных задач?
З.Ы. Как бы шутка - счётные числа несчётны потому, что они суть произведения счётного числа сомножителей со счётными степенями :)