Существует ли такая арифметика?

[goldbash]

Здравствуйте.

Столкнулся с возможностью построить арифметику с довольно странными свойствами, поэтому интересуюсь.

Под арифметикой подразумеваются обычные целые числа и кольцо над ними, плюс некоторые основные законы которые тут возникают (о делимости, простых числах и т.п.). Так вот, нет ли такой модели арифметики в которой все эти законы остаются в силе, но сами числа этой арифметики несчётные (в отличии от счётных целых (или натуральных) чисел "обычной" арифметики)?

Да, речь не про R, конечно, эти числа по-прежнему дискретны.

[arseniiv]

Опишите конкретнее. Ничего не понятно.

[goldbash]

arseniiv, я подумал - может это хорошо известная конструкция и существуют статьи на эту тему. Как-то не получилось подобрать соответствующие английские термины чтобы поискать.

Цитата:

Опишите конкретнее.

Могу попробовать оформить, только тогда чуть позже.

[Circiter]

2goldbash

Цитата:

но сами числа этой арифметики несчётные

Ну это вам в теорию ординалов надо. Хотя, я уверен, что вы что-то другое имели ввиду. :)

Цитата:

Да, речь не про R, конечно, эти числа по-прежнему дискретны

А как это так, шоб и дискретно, но не счётно? То есть вам надо, чтобы на числах нельзя было определить отношение порядка?

-- Вс дек 26, 2010 21:04:48 --

Ну, в-принципе, если бы получилось определить арифметические операции над элементами, например, канторова множества, то это, возможно, было бы удовлетворительным ответом (канторово множество несчетно, но и вроде-как "дискретно", т.е., нигде не плотно)...

-- Вс дек 26, 2010 21:17:36 --

Вот интересно, множество p-адических чисел счетно? Если нет, то это то, что нужно. :)

[Коровьев]

Ну, если придумывать новую арифметику неких чисел обладающих нетривиальной метрикой, то это занятие бесполезное. И на это есть теорема Островского, утверждающая, что кроме вещественной и $p$-адической нетривиальных метрик, других не существует. А всё придуманное будет эквивалентно одному из перечисленного с точностью до топологического изоморфизма, и, следовательно, новой арифметики не получится.
Что до арифметики чисел без метрики, то тут громадный простор с минимальными возможностями в части построения самой арифметики. ИМХО

[AD]

goldbash в сообщении #391740 писал(а):

Да, речь не про R, конечно, эти числа по-прежнему дискретны.

С какой стороны они дискретны??

goldbash в сообщении #391740 писал(а):

Под арифметикой подразумеваются обычные целые числа и кольцо над ними, плюс некоторые основные законы которые тут возникают (о делимости, простых числах и т.п.). Так вот, нет ли такой модели арифметики в которой все эти законы остаются в силе

Какие именно законы?

______________

А если по-хорошему, то до меня, кажется, дошло. Автор хочет числа с несчётным количеством знаков (до или после запятой).

[goldbash]

Цитата:

С какой стороны они дискретны??

Имелось в виду, что эти построенные числа (расширение N) дискретны, в отличии от R.

-- Вт дек 28, 2010 15:51:49 --

Цитата:

Вот интересно, множество p-адических чисел счетно? Если нет, то это то, что нужно. :)

Вообще - несчётное, так что это довольно интересно :) Но там с аддитивной стороны.

Что-то подобное нашёл, например - Gödel numbering, но там немного иначе.

Хотел ещё посочинять, но думаю и так будет понятно: cn.pdf

Можно ли где-нибудь почитать про такие построения? Например, было бы интересно построить такое же пространство для аддитивной группы и изучать их вместе.

[Munin]

goldbash в сообщении #391740 писал(а):

Так вот, нет ли такой модели арифметики в которой все эти законы остаются в силе, но сами числа этой арифметики несчётные (в отличии от счётных целых (или натуральных) чисел "обычной" арифметики)?

$\mathbb{N}^{*}$ нестандартного анализа?

[AD]

Перенёс в дискуссионный раздел.

(Едва ли это имеет отношение к теме, но раз уж на то пошло ...)

А вот элементы $\beta\mathbb{N}$ - насколько они "числа"?
А вдруг автору что-то такое нужно?

[Munin]

(Оффтоп)

AD в сообщении #393049 писал(а):

А вот элементы $\beta\mathbb{N}$ - насколько они "числа"?

Где $\beta$ - это что-то феерически замысловатое?

[AD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #393054 писал(а):

AD в сообщении #393049 писал(а):

А вот элементы $\beta\mathbb{N}$ - насколько они "числа"?

Где $\beta$ - это что-то феерически замысловатое?

А, ну да, это тоже такое очень страшное колдунство.

[Munin]

(Оффтоп)

Зря я спросил...

[Someone]

goldbash в сообщении #391740 писал(а):

Под арифметикой подразумеваются обычные целые числа и кольцо над ними, плюс некоторые основные законы которые тут возникают (о делимости, простых числах и т.п.). Так вот, нет ли такой модели арифметики в которой все эти законы остаются в силе, но сами числа этой арифметики несчётные (в отличии от счётных целых (или натуральных) чисел "обычной" арифметики)?

Нестандартная модель арифметики Пеано? http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_model_of_arithmetic

goldbash в сообщении #392747 писал(а):

Что-то подобное нашёл, например - Gödel numbering, но там немного иначе.

"Немного"? Ну-ну...

goldbash в сообщении #392747 писал(а):

Хотел ещё посочинять, но думаю и так будет понятно: cn.pdf

Мне кажется, Вы пытаетесь изобрести велосипед с квадратными колёсами.

[goldbash]

Someone в сообщении #393163 писал(а):

goldbash в сообщении #392747 писал(а):

Хотел ещё посочинять, но думаю и так будет понятно: cn.pdf

Мне кажется, Вы пытаетесь изобрести велосипед с квадратными колёсами.

Наверное, я всё-таки непонятно там написал ;) Давайте я тут перескажу и задам вопросы. Да, всё это не имеет отношение к нестандартному анализу - обычные теоретико-множественные и алгебраические построения.

2ч.) Обычно берут поле и в нём выделяют множество простых элементов (однозначность разложения на которые может быть, а может и нет). Можно ли сделать наоборот? Т.е. взять n элементов как множество простых и вокруг него построить поле с необходимыми свойствами? У меня там получилось это сделать обще-топологически, причём основной момент в том, что нужно использовать множества с порядком и повторениями, также и топологии должны быть такими.

3ч.) Другая идея это prime basis, я говорю что Gödel numbering "похоже" потому что там тоже используется эта идея. Её суть проста - всякому элементу из $\mathbb{Q}$, например $140/11 = 2^2 3^0 5^1 7^1 11^{-1} 13^0 \dots$ (и только так - основная теорема арифметики), можно поставить в соответствие элемент из $\mathbb{Z}^\infty$, в данном случае - $(2, 0, 1, 1, -1, 0, ...)$ (тоже только так - единственность разложения по базису). Т.е. всякому конечному числу из $\mathbb{Q}$ соответсвует конечное число из $\mathbb{Z}^\infty$, и наоборот. Однако $\mathbb{Z}^\infty$ - несчётно, т.е. в области бесконечных "чисел" (векторов) в $\mathbb{Z}^\infty$ есть что-то, чего нет в $\mathbb{Q}$ - что это?

4ч.) Вся теория делимости и прочие мультипликативные свойства числел $\mathbb{Q}$ оказываются в $\mathbb{Z}^\infty$ связаны с положением векторов, их подпространств, фактор-пространств, гипер-кубов и т.д. Т.е. становятся геометрическими свойствами. Мультипликативная группа $\mathbb{Q}$ превращается в абелеву группу сдвигов (или абелева группа векторного сложения), возведению в степень соответствует группа растяжений (того - трансляции и гомотетии). Должно быть, всё это наивные построения - в алгебраической теории чисел должен быть более "продвинутый" аналог этого изоморфизма $\mathbb{Q}$ \to \mathbb{Z}^\infty, и соответсвующая техника решать мультипликативные задачи в терминах алгебраической геометрии - вот я и спрашиваю, в какую сторону смотреть?

5ч.) Можно пытаться построить в $\mathbb{Z}^\infty$ аналог сложения в $\mathbb{Q}$ - связать с группой вращений (в $\mathbb{Z}^\infty$ это $S_\infty$ и $P_\infty$) или c билинейными формами. Но вообще я думаю, что это не имеет смысла - может иметь смысл строить $\mathbb{Z}^\infty$ для аддитивной группы $\mathbb{Q}$ отдельно. И далее - линейные отображения. Т.е. изоморфизм $(<\mathbb{Q}, \cdot, 1, ^{-1}>, <\mathbb{Q}, +, 0, ->) \to (<\mathbb{Z}^\infty, \oplus, \vec{0}, \ominus>, <\mathbb{Z}^\infty, \diamond, \vec{?}, ?>)$. Есть ли аналогичная геометрическая техника для аддитивных задач?

З.Ы. Как бы шутка - счётные числа несчётны потому, что они суть произведения счётного числа сомножителей со счётными степенями :)

[paha]

Первые два параграфа комментировать невозможно. В частности, непонятно каким именно образом мы выбираем следующий элемент во множестве рациональных чисел (невнятное определение индуктивной перечислимости) и как этот порядок согласован с естественным.

Следующий абзац является чем-то запредельным для моего понимания.

Цитата:

Перечислим все подмножества множества $\mathbb{P}_n$ в индуктивном смысле, все эти подмножества можно рассматривать как сложные объекты, у каждого из которых есть структура – те объекты $\mathbb{P}_n$ из которых он построен.

Взяв семейство $\mathcal{P}_n$ подмножеств множества $\mathbb{P}_n$, можно видеть, что оно является топологией на $\mathbb{P}_n$, если мы считаем все элементы $\mathcal{P}_n$ открытыми. Особенность в том, что $\mathcal{P}_n$ включает также все индуцированные по повторениям множества – это топология с повторениями. Таким образом, введём $(\mathbb{P}_n, \mathcal{P}_n)$ – дискретное топологическое пространство индексированного множества $\mathbb{P}_n$, его точки, суть $\lbrace p_i \rbrace$, все изолированы, $\pi$-базой $\mathbb{P}_n$ будут элементы:

$$ \mathcal{B}_n = \lbrace \lbrace p_1 \rbrace, \lbrace p_2 \rbrace, \dots, \lbrace p_n \rbrace \rbrace = \lbrace e_1, e_2, \dots, e_n \rbrace $$

где вводятся орты $e_i = \lbrace p_i \rbrace$, для всех элементов $\pi$-базы. В пределе $\mathbb{P}_{n \rightarrow \aleph_0}$ эта база образует сеперабельное пространство.

Дело в том, что Вы употребляете термин "топология" в нетрадиционном смысле. Топологию образуют подмножества исходного множества, а Ваше $\mathcal{P}_n$ не является набором подмножеств множества $\mathbb{P}_n$.

Цитата:

Теперь, для изучения этих сложных объектов, рассмотрим саму топологию $\mathcal{P}_n$ как топологическое пространство, которое обозначим $\mathbb{K}_n$, и его топологию $\mathcal{K}_n$.

Если $\Omega\subset Exp(X)$ -- топология на множестве $X$, то какую топологию на $\Omega$ Вы имеете ввиду (Вы ее называете "вторичной" и никак ее не определяете)?

Цитата:

Предыдущее наблюдение заставляет нас рассмотреть расслоение с базой $\mathbb{K}_n(\mathcal{P}_n)$ в линейное векторное пространство $\mathbb{N}^n$, при этом векторы – указанные строки целых чисел длинной n, для которых определено сложение и умножение на целое число удовлетворяющие всем необходимым аксиомам.

Непонятно что такое "расслоение с базой $X$ в линейное векторное пространство $V$", к тому же, структуру л.в.п. на $\mathbb{N}^n$ ввести затруднительно.

Соответственно, то, чем заканчивается "топологический параграф" совершенно невозможно понять.


перейдем к "алгебраическому параграфу"

Цитата:

Коммутативная группа умножения:

$$ <\mathbb{Q}, (\cdot, 1, ^{-1})> $$

все-таки тут $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$

Цитата:

Теперь рассмотрим изоморфизм $ || : \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{Q} $ из $\mathbb{K}$ в $\mathbb{Q}$ со следующими свойствами:

$$ \lvert \vec{x} = \vec{y} \rvert \Leftrightarrow \lvert \vec{x} \rvert = \lvert \vec{y} \rvert $$

$$ \lvert \vec{0} \rvert = 1 $$

$$ \lvert \vec{e_i} \rvert = p_i, \quad p_i \in \mathbb{P}, \quad i \in \mathbb{N} $$

$$ \lvert \vec{x} \oplus \vec{y} \rvert = \lvert \vec{x} \rvert \cdot \lvert \vec{y} \rvert $$

$$ \lvert a \odot \vec{x} \rvert = \lvert \vec{x} \rvert^a $$

Откуда следует что любому элементу из $\mathbb{K}$ соответсвует единствунный элемент из $\mathbb{Q}$, и наоборот.

А чему равно $\lvert \frac{1}{2} \odot \vec{e_i} \rvert$?