Прошу помощи у знающих. (УМФ)

[Gerzogh]

Столкнулся со смешанной задачей по уравнениям математической физики, помогите пожалуйста:

$U_{tt} = U_{xx} + \frac1x F_x~ (0<x<1)$
$|U(0,t)| < \infty$
$U(1,t) = \cos(2t)$
$U (x,0) = J_0(2x)/J_0(2)$
$U_t (x,0) = 0$


Ответ: $\frac{J_0(2x)}{J_0(2)}\cos(2t)$

Проблема состоит в том, что никогда ранее с уравнениями такого типа дел не имел, а самостоятельно разобраться по литературе не получилось. Между тем решение необходимо в течение 12 часов. Очень надеюсь на знающих людей.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

-- Вс дек 26, 2010 20:07:14 --

Немного поправил формулы и вернул

[Munin]

Непонятно, что такое $F.$

Вообще, уравнение такого вида описано в
Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 576 с. — ISBN 5-9221-0093-9.

[Gerzogh]

Это U опечатался. Сейчас попробую почитать.

[Munin]

Это совсем другое дело, гораздо проще.

Я так понимаю, надо сделать замену переменных, которая занулит второе слагаемое.

[Gerzogh]

Полистал справочник, не нашел подобного уравнения.
Необходимо разделить переменные так, чтобы перейти к функциям Бесселя, я думаю.

[ewert]

Gerzogh в сообщении #392035 писал(а):

Это U опечатался.

Тогда понятно, откуда $J$. Читайте про метод Фурье, применительно к разложению в ряд по функциям Бесселя. Но перед применением этого метода следует сделать граничные условия однородными, вычтя из искомой функции $x\cdot\cos2t$ и сделав соответствующую подстановку в уравнение. Уравнение при этом станет, правда, неоднородным, но это не страшно.

Munin в сообщении #392047 писал(а):

Я так понимаю, надо сделать замену переменных, которая занулит второе слагаемое.

Нет. Надо поставить задачу Штурма-Лиувилля по иксам для непосредственно исходной правой части волнового уравнения, которая стандартным образом некий ортогональный набор соотв. функций Бесселя и породит.

[Gerzogh]

Спасибо всем большое, вопрос решен)