Если aaa=a то кольцо коммутативно

[r2d]

Доказать, что если для произвольного элемента $a$ кольца $R$ имеем место $a^3=a,$ то кольцо $K$ коммутативно.

Задача взята из книги, но я встречал задачник в котором спрашивается будет ли кольцо коммутативным при этом условии. Ответ в задачнике отрицательный.

(Оффтоп)

Пока у меня получилось только из $(a+a)^3=a+a$ получить что характеристика $R$ должна быть равной 6. Далее никаких продвижений нет

[paha]

r2d в сообщении #391363 писал(а):

характеристика $R$ должна быть равной 6

6 делится на характеристику:)

r2d в сообщении #391363 писал(а):

Доказать, что если для произвольного элемента $a$ кольца $R$ имеем место $a^3=a,$ то кольцо $K$ коммутативно.

как связаны кольца $R$ и $K$?-)))))))))

[Профессор Снэйп]

А разве у кольца характеристика бывает? Я думал, только у поля.

-- Сб дек 25, 2010 17:37:48 --

Вот, например, у кольца $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$ какая "характеристика"?

[paha]

Профессор Снэйп в сообщении #391382 писал(а):

А разве у кольца характеристика бывает? Я думал, только у поля.

а почему нет?
характеристика кольца $R$ -- это наименьшее положительное целое число $k$ для которого $kx=0$ $\forall x\in R$
я, конечно, 01.01.04... но все же

-- Сб дек 25, 2010 14:40:49 --

аддитивная группа кольца...

[Maslov]

paha в сообщении #391384 писал(а):

характеристика кольца $R$ -- это наименьшее положительное целое число $k$ для которого $kx=0$ $\forall x\in R$

В кольце определены две бинарные операции (сложение и умножение). Откуда там операция умножения на положительное целое число?

[paha]

Maslov в сообщении #391417 писал(а):

В кольце определены две бинарные операции (сложение и умножение). Откуда там операция умножения на положительное целое число?

любое кольцо является $\mathbb{Z}$-модулем: $kx=x+x+\ldots+x$ ($k$ раз)

-- Сб дек 25, 2010 15:16:29 --

Maslov
удивлен:(

[Maslov]

paha, спасибо. Был неправ.

[r2d]

paha в сообщении #391380 писал(а):

как связаны кольца $R$ и $K$?-)))))))))

опечатка )) начало в голове крутилось Ring а потом перешло в Кольцо =)

Характиристку в кольце вводят так как ввел paha.
- Если кольцо с единицей, то оно характеристики $n>0$ тогда и только тогда, когда $n\in\mathbb{N}$ минимальное такое что $n1=0.$
- Если кольцо является областью целостности, то характеристика либо бесконечна либо равна простому числу.

[Leox]

Здесь наверное нужно контрпример предоставить. Возможно, подсказкой будет тот факт что если в группе выполняется тождество $a^3=a$ то она коммутативна.

[r2d]

А если в полугруппе $a^3=a$ будет ли она коммутативной?

[Leox]

r2d в сообщении #391707 писал(а):

А если в полугруппе $a^3=a$ будет ли она коммутативной?

в такой полугруппе будуть коммутировать елементы которые имеют обратные

[mkot]

Я в теории колец совсем никак, но в книге Херстейна Некоммутативные кольца на стр. 74 доказывается теорема Джекобсона 3.1.2: Пусть $R$ -- кольцо, в котором для любого $a$ сущестует натуральное число $n(a) > 1$ такое, что $a^{n(a)}=a$, тогда $R$ -- коммутативное.

Можно также взглянуть на пример на страницах 57-58.

[Mathusic]

r2d в сообщении #391707 писал(а):

А если в полугруппе $a^3=a$ будет ли она коммутативной?

В группе это равносильно $a^2=1,$ тогда $1=abab=aabb.$ Причём группа эта будет изоморфна некоторой степени $\mathbb{Z}_2.$

[r2d]

mkot в сообщении #391724 писал(а):

Я в теории колец совсем никак, но в книге Херстейна Некоммутативные кольца на стр. 74 доказывается теорема Джекобсона 3.1.2: Пусть $R$ -- кольцо, в котором для любого $a$ сущестует натуральное число $n(a) > 1$ такое, что $a^{n(a)}=a$, тогда $R$ -- коммутативное.

Можно также взглянуть на пример на страницах 57-58.

Спасибо посмотрим =)

Leox в сообщении #391722 писал(а):

в такой полугруппе будуть коммутировать елементы которые имеют обратные

Для обратимости, нужно понятие единицы, т.е. не полугруппа а моноид получается? Или мы просто добавляем закон сокращения?

Mathusic в сообщении #391732 писал(а):

В группе это равносильно $a^2=1,$ тогда $1=abab=aabb.$ Причём группа эта будет изоморфна некоторой степени $\mathbb{Z}_2.$

С группами все понятно =)

-- Вс дек 26, 2010 14:06:29 --

Напомню, что задача взята из упражнений после параграфа "Основные свойства колец" в главе "Введение в колец". Поэтому без того арсенала что использует более общая теорема Джекобсона по идее авторов книги должна была решится данная задача =)

[Leox]

r2d в сообщении #391743 писал(а):

Leox в сообщении #391722 писал(а):

в такой полугруппе будуть коммутировать елементы которые имеют обратные

Для обратимости, нужно понятие единицы, т.е. не полугруппа а моноид получается?

да, нужна единица, выше уже было показано как следует коммутативность