Если aaa=a то кольцо коммутативно

[r2d]

Нашел решение на Artofproblemsolving.com
А ссылку потерял...

1. Из $ab=0$ следует $ba=(ba)^3=b(ab)^2a=0.$
2. Из $0=ab-ab=a^3b-ab=a(a^2b-b)$ по первому пункту получаем $0=(a^2b-b)a=a^2ba-ba.$ Тогда $a^2ba^2=ba^2.$ Aналогично мы получим $a^2ba^2=a^2b.$
Значит $a^2b=ba^2,$ т.е. $a^2\in Z(R)$ для всех $a\in R.$
3. $ab=(ab)^3=a(ba)^2b=(ba)^2ab=baba^2b=ba^3b^2=b^3a^3=ba,$ т.е. $R$- коммутативно.