Группы

[altro]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с данным вопросом.

Необходимо построить фактор-группу аддитивной группы $Z^2$ по подгруппе векторов вида $(3x,4x)^T$, где $x \in Z$.

Группу назовём $G$, а подгруппу - $H$.
В силу того, что в группе есть коммутативность ясно, что данная подгруппа является нормальным делителем (выполнено условие $aH = Ha$ для любых $a \in G$).

Далее записываю условие равенства смежных классов:
$aH = bH$ тогда и только тогда, когда $a^{-1}b \in H$ для любых $a, b \in G$.
То есть два смежных класса равны в случае, когда первая координата кратна 3, а вторая кратна 4.

Тогда фактор группа группы $G$ по подгруппе $H$ состоит из двух классов: $eH$ (сама группа $H$) и $cH$ ($c\notin H$ - элементы с координатами не кратными 3 и 4 соответственно).

Данное решение является правильным?

[VAL]

altro в сообщении #391249 писал(а):

Необходимо построить фактор-группу аддитивной группы $Z^2$ по подгруппе векторов вида $(3x,4x)^T$, где $x \in Z$.
[..]
То есть два смежных класса равны в случае, когда первая координата кратна 3, а вторая кратна 4.

???

Цитата:

Тогда фактор группа группы $G$ по подгруппе $H$ состоит из двух классов: $eH$ (сама группа $H$) и $cH$ ($c\notin H$ - элементы с координатами не кратными 3 и 4 соответственно).

Данное решение является правильным?

Нет.

[altro]

Тогда где возникает ошибка?

[paha]

altro в сообщении #391249 писал(а):

То есть два смежных класса равны в случае, когда первая координата кратна 3, а вторая кратна 4.

координаты какого элемента?

[Null]

$cH$ - не один класс

[gris]

Рассмотрите аналогичную задачу

Необходимо построить фактор-группу аддитивной группы $Z$ по подгруппе векторов вида $3x$, где $x \in Z$.

И Вы увидите свою ошибку.

[paha]

(Оффтоп)

может, сказать, что должен получиться цилиндр?

[gris]

А не тор?
Не в смысле бога викингов, а в геометрическом.

:каюсь: Ой, там же мальчик и мальчик. Это я и не заметил. Я подумал, что это разные иксы.

[paha]

gris в сообщении #391259 писал(а):

А не тор?
Не в смысле бога викингов, а в геометрическом.

для тора нужны двое:)) посмотрите на ядро

[altro]

Тогда получается, что фактор группа имеет вид:
$\{(a+3x, b+4x)^T: a,b,x \in Z; a = 0,1,2; b = 0,1,2,3\}$
То есть данная фактор группа состоит из 12 элементов.

-- Сб дек 25, 2010 13:39:39 --

Так это правда, что я написал выше?

[VAL]

altro в сообщении #391262 писал(а):

Тогда получается, что фактор группа имеет вид:
$\{(a+3x, b+4x)^T: a,b,x \in Z; a = 0,1,2; b = 0,1,2,3\}$
То есть данная фактор группа состоит из 12 элементов.

Где-то так.

[paha]

altro в сообщении #391262 писал(а):

Тогда получается, что фактор группа имеет вид:
$\{(a+3x, b+4x)^T: a,b,x \in Z; a = 0,1,2; b = 0,1,2,3\}$
То есть данная фактор группа состоит из 12 элементов.

и какому классу смежности принадлежит элемент $(3,0)^T$?-)))

-- Сб дек 25, 2010 12:45:25 --

gris
Дурной пример заразителен:

VAL в сообщении #391278 писал(а):

Где-то так.

[Руст]

VAL в сообщении #391278 писал(а):

altro в сообщении #391262 писал(а):

Тогда получается, что фактор группа имеет вид:
$\{(a+3x, b+4x)^T: a,b,x \in Z; a = 0,1,2; b = 0,1,2,3\}$
То есть данная фактор группа состоит из 12 элементов.

Где-то так.

Нет не так. Факторгруппа бесконечная, ее периодическая часть состоит из 12 элементов.

[paha]

Руст в сообщении #391287 писал(а):

Нет не так.

что ж Вы так... сразу-то:(

[altro]

paha в сообщении #391280 писал(а):

и какому классу смежности принадлежит элемент $(3,0)^T$?-)))

Я совсем запутался. Не могу подобрать соответствующие $a,b,x$ - значит неправильно сделал.
Или надо выбирать $a = 1, 2, 3$ и $b = 0, 1, 2, 3$.