Отделено: Снова о неопределённом интеграле

[caxap]

(Оффтоп)

$(\cdot)^\alpha\in L_p[0;1]$

[ewert]

worm2 в сообщении #390209 писал(а):

Представляю, как тяжело Вам приходится в официальных текстах: "определим $f$ как класс измеримых по Лебегу на $[0,1]$ функций, почти всюду равных на этом отрезке функции $g$, определяемой формулой $g(x)=x^\alpha$"

Вот что значит не иметь чувства меры. Нормальные люди пишут просто "если $f(x)=x^{\alpha}$, то $f\in L_p[0;1]$". Но никак не "$f(x)\in L_p[0;1]$" и уж тем более не "$x^{\alpha}\in L_p[0;1]$".

caxap в сообщении #390212 писал(а):

$(\cdot)^\alpha\in L_p[0;1]$

Можно, но крайне неуклюже смотрится, так что лучше всё-таки не надо.

[moscwicz]

Munin в сообщении #390031 писал(а):

ewert в сообщении #390001 wrote:
Всё равно не интегрируемых явно уравнений -- неизмеримо больше, чем интегрируемых.

В каком пространстве и по какой мере?

Если Вас интересуют именно формальные результаты см. Козлов Симметрии, топология и резонансы... Теорема Зигеля утверждает ,грубо говоря, что множество интегрируемых гамильтоновых систем имеет первую категорию в некотором естественно определенном полном метрическом пространстве.

Munin в сообщении #390031 писал(а):

Нас интересуют не абстрактные "не интегрируемые явно уравнения", а конкретные задачи, возникающие в физике и технике. Если их удаётся проинтегрировать, мы радуемся каждому такому результату.

Напрасно радуетесь. Для натуральных гамильтоновых систем с гиперболическим положением равновесия неинтегрируемость типична см. интеграл Пуанкаре-Мельникова. Любое малое (с минимальными условиями невырожденности только) возмущение физического маятника приводит к неинтегрируемости.

На самом деле, все уже давно (со времен Пуанкаре) привыкли, что неинтегрируемость это и есть именно случай общего положения, а формальные аргумененты я Вам привел.

[Munin]

moscwicz в сообщении #390243 писал(а):

На самом деле, все уже давно (со времен Пуанкаре) привыкли, что неинтегрируемость это и есть именно случай общего положения, а формальные аргумененты я Вам привел.

Я знаю. Ещё раз: интересует не общее положение. Общее положение будем считать численно или последовательными приближениями.

ewert в сообщении #390216 писал(а):

Вот что значит не иметь чувства меры.

В своём зрачке бревно поищите.

[Quasus]

Возвращаясь к вопросу:

ewert в сообщении #389902 писал(а):

Quasus в сообщении #389883 писал(а):
Почему такой интеграл назван неопределённым — другой вопрос,

Нет никакого вопроса. Никто, решительно никто не обзывает интеграл по умалчиваемой области "неопределённым".

Разумеется, никто не называет определённый интеграл по умалчиваемой области неопределённым. Но вы цитируете не то сообщение. Именно, я писал

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

априори никто не станет утверждать, что во всех работах по теории меры и интеграла неопределённый интеграл понимается в смысле

Однако такие книги есть. Почему такой интеграл назван неопределённым — другой вопрос, да и вообще обращаться к этимологии математических терминов — дело неблагодарное.

Кстати, далеко ходить не надо: Колмогоров—Фомин, глава о неопределённом интеграле Лебега.

А вы перепутали с этим:

Quasus в сообщении #389883 писал(а):

Однако у меня, например, значок интеграла без пределов ассоциируется в первую очередь с интегралом по некоторому default множеству, а вовсе не с совокупностью первообразных.

Обращаю внимание, что в таком случае я, как всякий нормальный человек, не считаю знак интеграла без пределов знаком неопределённого интеграла.

Ну вот, а то уж я совсем неграмотным получался.

-- Ср дек 22, 2010 22:16:54 --

ewert в сообщении #390189 писал(а):

запись -- нехороша, точнее, формально безграмотна:

А что мешает в этой записи интерпретировать букву $x$ как символ тождественного отображения?

[ewert]

Quasus в сообщении #390385 писал(а):

Кстати, далеко ходить не надо: Колмогоров—Фомин, глава о неопределённом интеграле Лебега.

Да, проверил, есть такая фраза там. Но это они просто сдуру ляпнули. В целом-то книжка хорошая.

Quasus в сообщении #390385 писал(а):

А что мешает в этой записи интерпретировать букву $x$ как символ тождественного отображения?

Ничто не мешает, кроме отсутствия традиции. Все в этом мире обозначают тождественное отображение кто во что горазд: кто буквой $I$, кто $E$, кто мягким знаком, кто нотой "соль", кто ещё каким иероглифом. И практически никто не обозначает его буквой $x$, решительно никто практически. Так что перед Вами стоит трудная задача -- переубедить мир использовать для этой цели именно эту букву. Что ж, тем эта задача интереснее.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #390457 писал(а):

кто нотой "соль"

Очень интересно, а как вы обозначите что-то нотой "соль"?

ewert в сообщении #390457 писал(а):

И практически никто не обозначает его буквой $x$, решительно никто практически.

Мнэ, вы хорошо помните обозначения в итальянских трактатах 17 века?

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #390467 писал(а):

вы хорошо помните обозначения в итальянских трактатах 17 века?

а Вы уже там, именно в том веке работаете?... Это хорошо, только постарайтесь Ньютона там нечаянно не зашибить.

[Quasus]

ewert в сообщении #390457 писал(а):

Quasus в сообщении #390385 писал(а):
Кстати, далеко ходить не надо: Колмогоров—Фомин, глава о неопределённом интеграле Лебега.

Да, проверил, есть такая фраза там. Но это они просто сдуру ляпнули. В целом-то книжка хорошая.

И эта глупость не только осела в головах поколений студентов, но и разнеслась по другим книгам, даже в энциклопедию Виноградова попала (в конце статьи «Кратный интеграл»).

А я вспомнил, где я это впервые прочитал. И вовсе не у Колмогорова—Фомина, а в книге Е. Камке. Интеграл Лебега—Стилтьеса. — М. : Физматгиз, 1959. — 328 с. На странице 230.

Я считаю, что уже нашёл достаточно примеров из литературы.

ewert в сообщении #390457 писал(а):

Quasus в сообщении #390385 писал(а):
А что мешает в этой записи интерпретировать букву x как символ тождественного отображения?

Ничто не мешает, кроме отсутствия традиции. Все в этом мире обозначают тождественное отображение кто во что горазд: кто буквой I, кто E, кто мягким знаком, кто нотой "соль", кто ещё каким иероглифом. И практически никто не обозначает его буквой , решительно никто практически. Так что перед Вами стоит трудная задача -- переубедить мир использовать для этой цели именно эту букву. Что ж, тем эта задача интереснее.

Начать с того, я говорю не об использовании буквы x для тождественного отображения, а об интерпретации этой буквы, о соглашении. То есть я не предлагаю использовать эту букву вместо id и т. п., а говорю, что если в соответствующих контекстах эту букву считать обозначением тождественной функции, то «некорректные» с вашей точки зрения записи становятся вполне корректными.

Не люди для обозначений, а обозначения для людей: в некоторых случаях очень удобно и естественно к имени функции приписывать букву x, y и т. д. В примере со степенной функцией без этого легко обойтись, но попробуйте‐ка изложить, например, тему прямого произведения из учебника урмата Владимирова без обозначения аргумента. В интегральных преобразованиях обозначение аргументов тоже важно. Пытаться в угоду корректности обойтись без аргументов в тех случаях, когда они действительно нужны и важны — это, скажем так, неразумно. Притом все формальные проблемы исчезают, если под буквой, обозначающей аргумент, понимать тождественное отображение на каком‐то множестве.

Автору учебника урмата, конечно, неважно, понимается ли его запись sin x как «неформальный стиль» или читатель усматривает здесь определённую алгебру или теорию множеств: главное — передать смысл так, чтобы не возникало недоразумений. А вот в более фундаментальной книге это вполне может быть написано. Если я написал путано, предлагаю вам посмотреть вводную главу книги Дж. Л. Келли. Общая топология. В частности, на 28-й странице вы можете видеть то самое соглашение о смысле буквы x, о котором речь. Келли — человек, разбирающийся в теории множеств, поэтому возражения а-ля «ляпнул сдуру» не принимаются.

[ewert]

Quasus в сообщении #390485 писал(а):

предлагаю вам посмотреть вводную главу книги Дж. Л. Келли. Общая топология. В частности, на 28-й странице вы можете видеть то самое соглашение о смысле буквы x

Не посмотрю, это бессмысленно. Келли мог для своих личных целей выдумывать, разумеется, какие угодно обозначения. Но в общем употреблении эта букаффка -- ничуть не лучше тэ, или эс, или какого угодно другого мягкого знака. На обозначение для тождественного преобразования (в общематематическом понимании) она -- категорически не тянет. Попросту потому, что она уже зарезервирована (вот именно в общем понимании) совершенно для другого.

[Quasus]

ewert в сообщении #390488 писал(а):

Quasus в сообщении #390485 писал(а):
предлагаю вам посмотреть вводную главу книги Дж. Л. Келли. Общая топология. В частности, на 28-й странице вы можете видеть то самое соглашение о смысле буквы x

Не посмотрю, это бессмысленно. Келли мог для своих личных целей выдумывать, разумеется, какие угодно обозначения. Но в общем употреблении эта букаффка -- ничуть не лучше тэ, или эс, или какого угодно другого мягкого знака. На обозначение для тождественного преобразования (в общематематическом понимании) она -- категорически не тянет. Попросту потому, что она уже зарезервирована (вот именно в общем понимании) совершенно для другого.

Зачем я писал предыдущий пост?..

[Munin]

Quasus в сообщении #390490 писал(а):

Зачем я писал предыдущий пост?..

Я его с удовольствием прочитал. Но всё-таки $x$ не в точности взаимозаменяемо с другими обозначениями тождественного отображения. Например, $f^n$ понимается как композиция, а $x^n$ - как числовое возведение в степень.

[Quasus]

Munin в сообщении #390544 писал(а):

Я его с удовольствием прочитал.

Munin в сообщении #390544 писал(а):

Но всё-таки не в точности взаимозаменяемо с другими обозначениями тождественного отображения.

Это разумеется. Вопрос только в том, можно ли при желании рассматривать записи типа sin x как легальные обозначения функций.

Ещё пришло в голову. Если рассматривать числовые функции, то можно считать, что x обозначает координату на многообразии (числовой прямой). Координаты же являются функциями, и sin x — просто суперпозиция. На многообразиях так и делают.

[ewert]

Quasus в сообщении #390563 писал(а):

можно ли при желании рассматривать записи типа sin x как легальные обозначения функций.

Нельзя, т.к. обозначение $\sin x$ жёстко закреплено не за синусом как функцией, а за её значением. Никакие желания тут не уместны, они приводят лишь к путанице в мозгах. Можно было бы при желании разве что запись $\sin$ рассматривать как обозначение функции, но это крайне неудобно по разным причинам.

[Quasus]

ewert в сообщении #390570 писал(а):

Quasus в сообщении #390563 писал(а):

можно ли при желании рассматривать записи типа sin x как легальные обозначения функций.

Нельзя, т.к. обозначение $\sin x$ жёстко закреплено не за синусом как функцией, а за её значением. Никакие желания тут не уместны, они приводят лишь к путанице в мозгах. Можно было бы при желании разве что запись $\sin$ рассматривать как обозначение функции, но это крайне неудобно по разным причинам.

(Старательно конспектирует. )