Методы математической физики

[ewert]

s.o.s. в сообщении #386798 писал(а):

А если мы просто определим её математически, то она для физики впринципе бесполезна,

А она математически и была сочинена ровно потому, что понадобилась в физике. Потому, что, как показал опыт -- для природы характерны именно гладкие (т.е. в первом приближении линейные) зависимости. Это -- чисто эмпирический факт.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #386794 писал(а):

s.o.s. в сообщении #386771 писал(а):

А зачем нам нужно было создать это?

Ну даже и не знаю, что и ответить.

Вот она, ваша позиция во всём блеске. Вы не знаете, зачем в физике дифференцирование. Поэтому и навязываете своё мнение, к физике никак не относящееся.

[Himfizik]

s.o.s.

Извините, с упрощением это я некорректно выразился. Не нужно все полагать равным нулю без разбора, как это следовало из моего невнятного послания.

Переформулирую: хотел сказать, что система выписанных уравнений гидродинамики (уравнение непрерывности$=$оно же закон сохранения сохранения массы и уравнение Эйлера) имеет стационарное решение $\rho=\rho_0=const, p=p_0=const, \vec v=0$.
Разлагаем функции в ряд $\rho(\vec r,t)=\rho_0+\rho_1(\vec r,t)$, аналогично с $p(\vec r,t)$. А вот потом говорим, что поправки к плотности и давлению малы (как и писал в прошлом сообщении) и будем в решении ограничиваться первым порядком малости. Тогда подставляя эти разложения в наши уравнения (не облегченные, как маразматично ( ) написал я ранее, а самые, что ни на есть уравнения гидродинамики) и не забывая о предположениях (малость поправок, константность стационарных плотностей и давлений, нулевое значение стационарной скорости и первые порядки малости), высказанных выше, получаем систему уравнений, которую решаем и радуемся жизни...

Теперь вроде усЁ корректно написал... А то в прошлый раз имел ввиду одно, а написал другое... Да, хорошо, вторую часть решения выписывать не буду, буду поэкономнее разбрасываться готовыми конструкциями решения, полагаясь на вашу сообразительность...

[s.o.s.]

Himfizik в сообщении #386870 писал(а):

s.o.s.Извините, с упрощением это я некорректно выразился. Не нужно все полагать равным нулю без разбора, как это следовало из моего невнятного послания. Переформулирую: хотел сказать, что система выписанных уравнений гидродинамики (уравнение непрерывностионо же закон сохранения сохранения массы и уравнение Эйлера) имеет стационарное решение . Разлагаем функции в ряд , аналогично с . А вот потом говорим, что поправки к плотности и давлению малы (как и писал в прошлом сообщении) и будем в решении ограничиваться первым порядком малости. Тогда подставляя эти разложения в наши уравнения (не облегченные, как маразматично ( ) написал я ранее, а самые, что ни на есть уравнения гидродинамики) и не забывая о предположениях (малость поправок, константность стационарных плотностей и давлений, нулевое значение стационарной скорости и первые порядки малости), высказанных выше, получаем систему уравнений, которую решаем и радуемся жизни...Теперь вроде усЁ корректно написал... А то в прошлый раз имел ввиду одно, а написал другое... Да, хорошо, вторую часть решения выписывать не буду, буду поэкономнее разбрасываться готовыми конструкциями решения, полагаясь на вашу сообразительность...

Так, буду по шагам продвигаться, а то я весь ход решения выложу и вы опять будете думать, на какую бы ошибку указать в первую очередь
Итак:
Не будем делать вид, что мы не знаем, как будет выглядеть наш результат.
Поэтому мы фактически ищем волновое уравнение в этих двух уравненияx.
Первым делом представим
$p(\vec r,t)=p_0+p_1(\vec r,t)$
$\rho (\vec r,t)=\rho _0+\rho _1(\vec r,t)$
Далее, учитывая, что $p_0 \gg p_1$ и $\rho_0 \gg \rho_1$
подстваляем $p_0$ и $\pho _0$ в уравнения.
Пока всё правильно?

И вот такой вопрос ещё, если у нас давление и плотность одинаковы и постоянны, то эта жидкость спокойна?

[Himfizik]

Подставляем $p$ и $\rho$ в уравнения...(а не $p_0$ с $\rho_0$)

Да, есть у нашей системы стационарное решение (давление с плотностью константы, а скорость нулевая), считайте, что мы слегка отступили от этой идилии, добавляя в наш стационар маленькое возмущение (такое, что скорость и поправки к плотности и давлению малы, ограничиваемся первым порядком малости)... После такой процедуры (популярной, кстати, процедуры - линеаризации), получим линеаризованные уравнения... Предлагаю вам их записать и показать на всеобщее обозрение (народу нужны зрелища )...

[s.o.s.]

Himfizik в сообщении #388424 писал(а):

Да, есть у нашей системы стационарное решение (давление с плотностью константы, а скорость нулевая), считайте, что мы слегка отступили от этой идилии, добавляя в наш стационар маленькое возмущение (такое, что скорость и поправки к плотности и давлению малы, ограничиваемся первым порядком малости)... После такой процедуры (популярной, кстати, процедуры - линеаризации), получим линеаризованные уравнения... Предлагаю вам их записать и показать на всеобщее обозрение (народу нужны зрелища )...

ммм...
$\frac {d(\rho _0+ \rho _1)}{dt} + div((\rho _0+ \rho _1)* \vec u)= 0$
и то же самое для уравнения Эйлера.

[s.o.s.]

Ну тут будут такие уравнения:
$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{d\rho _1 }} {{dt}} + div(\rho _1 \vec u) = 0} \\ {\frac{{du_{} }} {{dt}} + (u\nabla )\vec u = \frac{{ - \nabla p_1 }} {{p_1 }}} \\ \end{array} } \right\} \] $
т.к. $\rho _0$ & $p_0$ константы.
где $p_1 = \frac {dp}{dt} \delta t $

П.С. как на этом форуме будет дельта-треугольничек?

[s.o.s.]

To Ewert

А у меня такой вопрос, а как физики определили, что растяжение равно dy-dx?Ведь нельзя же произвести измерения на бесконечно маленьких растояниях. Я думаю так, они измерили "усреднённую" силу, а потом исходя из представлений о действительной оси чисел, они сделали предположение, что то же самое будет и в реальном мире. Правильно?
И мой вопрос имеет место быть?Или он полностью бессмыслен?

[Himfizik]

s.o.s.
Ну не совсем так... Скорость равна нулю плюс некая малая величина (см. прошлые сообщения ), еще известно, что $div( \rho \vec v)=\rho div (\vec v)+\vec v grad\rho$...

Запишите, перемножьте, второй порядок малости откиньте...

Дельта пишется так: $\Delta$ (Delta с большой буквы)...

[ewert]

s.o.s. в сообщении #389782 писал(а):

А у меня такой вопрос, а как физики определили, что растяжение равно dy-dx?Ведь нельзя же произвести измерения на бесконечно маленьких растояниях.

Нельзя. Но можно взять сначала просто маленькие расстояния, а потом посмотреть, что получится из этого соотношения в формальном пределе, когда те расстояния стремятся к нулю. Физики ровно так и поступают, и лишь некоторые из них зачем-то этого стесняются. То, что получается в результате, называется математической моделью физического явления, и физическая неприменимость этих рассуждений на слишком малых расстояниях к делу пока что не относится. Любая матмодель вообще -- лишь приближённая и справедлива лишь в определённом диапазоне парвметров. Но это -- совершенно другая тема, не имеющая отношения к собственно построению модели. Мух следует отделять от котлет.

[s.o.s.]

To Himfizik
Что-то математически не очень у меня получается И план решения,Вроде было ощущение, что понимал, а сейчас опять что-то перестал понимать
Такой вопрос, как нам помогает знание стационарного решения, для приведения функций скорости, давления и плотности к линейному виду?
To Ewert
Всё, я разобрался кроме одного.Этот момент вводит меня в ступор.Почему мы делим ещё на $dx$?Ведь если у нас дана пружина(как в классическом школьном учебнике физики) (0,x) и мы её растягиваем до (0,y), то у нас сила растяжения равна $(y-0)-(x-0)=\Delta L$ ,$F=k \Delta L$ Почему мы здесь ещё делим на $dx$? Я, конечно, понимаю, что бесконечно малая величина должна равняться б.м. величине.Но тогда помоему должно быть $dF=dy-dx$, а $Fdx$ -это же работа уже получается?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #390836 писал(а):

Почему мы здесь ещё делим на $dx$?

При одной и той же упругости сила пропорциональна относительному растяжению, а не абсолютному. Скажем так: объединив несколько соседних одинаково растянутых участков в один, мы увеличим суммарное растяжение, но сила-то от этого не изменится.

[Munin]

Для элемента упругого материала длиной $L$ и поперечным сечением $S$ коэффициент упругости $k=ES/L,$ где $E$ - модуль Юнга, зависящий только от материала. Так что выделяя константы, имеем для равномерно растянутого отрезка произвольной длины $F=-k\,\Delta L=-(ES)(\Delta L/L)=-(ES)\delta L,$ где $\delta L$ - относительное растяжение.

[Himfizik]

s.o.s.

Линеаризация - это стандартная процедура. Пусть сначала у нас есть стационарное решение уравнения. Мы сознательно (будучи в здравом уме и памяти ) добавляем к нему некую маленькую добавку (возмущение, которое в некоторых задачах может быть осцилляторной добавкой, изменяющейся со временем по синусоиде). Затем подставляем в наше уравнение, выкидывая члены второго порядка малости. В итоге имеем линеаризованное уравнение.

Распишите произведение плотности на скорость ($0+$малая добавка, напоминаю, что скорость в стационаре нулевая, то есть $\vec v$ есть малая величина того же порядка малости, что и $p_1, \rho_1$). Теперь подумайте над вопросами: какими членами можно пренебречь? Как запишется уравнение непрерывности? Какой порядок малости у $(v \nabla)\vec v$? Как тогда запишется уравнение Эйлера?

[s.o.s.]

Munin в сообщении #390864 писал(а):

Для элемента упругого материала длиной и поперечным сечением коэффициент упругости где - модуль Юнга, зависящий только от материала. Так что выделяя константы, имеем для равномерно растянутого отрезка произвольной длины где - относительное растяжение.

А!Точно, я и не заметил, что $k=ES$!.Теперь более-менее понятно!

ewert в сообщении #390849 писал(а):

При одной и той же упругости сила пропорциональна относительному растяжению, а не абсолютному. Скажем так: объединив несколько соседних одинаково растянутых участков в один, мы увеличим суммарное растяжение, но сила-то от этого не изменится.

Ага!

To Himfizik

Ну всё просто
$\frac {d\rho}{dt}=0$
$\frac {d\vec u}{dt}=-\frac{grad (p)}{p}$