Давайте попробуем найти функцию

[arseniiv]

Элементарную функцию $n$ действительных аргументов, которая показывает количество положительных аргументов среди всех. Мне кажется, такая вполне может существовать!

Неэлементарную можно легко построить через сумму функций Хевисайда с нулём в нуле: $f(\mathbf a) = \sum_{i = 1}^n {H_0 \left( a_i \right)}$, потому интересно, можно ли что-то измыслить элементарное.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Прошу прощения, что не совсем в тему... А что такое элементарная функция?

[Legioner93]

А модуль - элементарная функция?

[paha]

$\frac{x+|x|}{2|x|}$ непрерывная слева

[Legioner93]

Википедия говорит, что модуль - не элементарная:(

[arseniiv]

Mitrius_Math в сообщении #388959 писал(а):

(Оффтоп)

Прошу прощения, что не совсем в тему... А что такое элементарная функция?

Ну как же, это определено в разных местах по-разному, но доподлинно известно, что всяческие суперпозиции тождественной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций являются ими (не знаю, как логичнее ввести сюда суммы и произведения, ведь они таким способом вроде не получаются?).

paha в сообщении #388962 писал(а):

$\frac{x+|x|}{2|x|}$ непрерывная слева

В нуле не определена! Или я чего-то не понимаю.

Legioner93 в сообщении #388964 писал(а):

Википедия говорит, что модуль - не элементарная:(

А нам говорили, что элементарная: $|x| = \sqrt{x^2}$. Но не знаю, как обычно принимают. Вроде бы всё логично, или есть какие-то важные причины неэлементарности?

[paha]

arseniiv в сообщении #388967 писал(а):

В нуле не определена! Или я чего-то не понимаю.

которая определена в нуле так, чтобы быть непрерывной слева... нулем доопределена... или элементарные все непрерывны?

[arseniiv]

Legioner93, кстати, в статье Абсолютная величина я не нашёл ничего про (не)элементарность вообще. И в английской вроде нет.

paha в сообщении #388978 писал(а):

которая определена в нуле так, чтобы быть непрерывной слева... нулем доопределена... или элементарные все непрерывны?

А разве элементарной после доопределения она останется?

[paha]

arseniiv в сообщении #388980 писал(а):

А разве элементарной после доопределения она останется?

значит в виде композиции и всяких сумм-произведений нельзя

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #388967 писал(а):

Ну как же, это определено в разных местах по-разному, но доподлинно известно, что всяческие суперпозиции тождественной, степенной, экспоненциальной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций являются ими (не знаю, как логичнее ввести сюда суммы и произведения, ведь они таким способом вроде не получаются?).

То есть, через перечисление?

[arseniiv]

Нет, я где-то читал, есть какое-то определение через комплексные числа, оно получше смотрится, но просто повторить не смогу.

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #388962 писал(а):

$\frac{x+|x|}{2|x|}$ непрерывная слева

Функция $\frac{x+|x|}{2|x|}$ непрерывна на всей своей области определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Смотрите topic39443.html.
Как мы теперь будем определяться? Не считать $\frac{x+|x|}{2|x|}$ элементарной, а $y = \frac 1 x$ считать элементарной?

[shwedka]

Я своих шведских студентов учила, что элементарные - функции, получаемые из основных элементарных (константа, степенная, показательная, логарифм, триг., обратн. триг. -- список исчерпан ) путем применения четырех арифметичаских операций, суперпозиции, а также сужения на интервал, входящий в область определения, примененных в конечном количестве. Так что модуль-элементарная функция в этом определении.

Потом даже теорему доказала, что производная элементарной функции - элементарная функция на любом интервале, где эта производная существует.

[arseniiv]

Виктор Викторов в сообщении #389127 писал(а):

Не считать $\frac{x+|x|}{2|x|}$ элементарной, а $y = \frac 1 x$ считать элементарной?

Да нет, обе они элементарные, но расширение первой на всё $\mathbb R$ (равна нулю в нуле) уже нет. Вот и у shwedkи в определении только сужения фигурируют, но не расширения.

[Виктор Викторов]

Итак, функция
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x<0,\\ 2, x>0 \end{array} \right $
элементарная, а функция
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x\leqslant 0,\\ 2, x>0 \end{array} \right $
не является элементарной? Правильно я Вас понимаю? А что shwedka думает по этому поводу?