Шарик и две лунки

[caxap]

gris в сообщении #388776 писал(а):

Не все эксперименты возможны даже в идеальном мире,

Но что нам мешает в этом идеальном мире взять шарик и провести эксперимент?. Начнём с нашего реального мира. Возьмём гладкий отполированный стол с электроникой, которая при каждом контакте с шариком, изменяет подсветку стола (с синего на красный и наоборот). Шарик твёрдый и отполированный. Электроника и сенсоры, обнаруживающие контакт с шариком очень точные. Бросаем шарик. Пускай он 1000 раз отпрыгнул, после чего трение всё загубило. Стол синий. Ещё больше отполируем стол, возьмём ещё более качестенный шарик и электронику. Шарик отскакнул 2001 раз. Стол красный. Теперь уйдём от проблем реального мира, перейдём от физике к математике. Все условия идеальный, трения нет совсем (шарик остановится, только когда сойдётся ряд, то есть равно через 1 с, не раньше), скорость (света в том числе) ничем не ограничена. Бросаем шарик. Прошла 1 с.

Такой мысленный эксперимент недопустим? Но тогда почему? Что я сделал не так?

[Dan B-Yallay]

caxap писал(а):

Теперь уйдём от проблем реального мира, перейдём от физике к математике. Все условия идеальный, трения нет совсем (шарик остановится, только когда сойдётся ряд, то есть равно через 1 с, не раньше), скорость (света в том числе) ничем не ограничена. Бросаем шарик. Прошла 1 с.

Так как трения нет, то шарик будет скакать равномерно и безостановочно. Никакого сходящегося ряда не получится.

[caxap]

(Оффтоп)

Кстати, если считать время дискретным и квант времени равен планковскому времени, то страдания шарика кончатся (если я правильно посчитал) на члене $1/2^{143}$. Если стол изначально был красный, то через 1с он станет синий.

Dan B-Yallay в сообщении #388787 писал(а):

Так как трения нет, то шарик будет скакать равномерно и безостановочно. Никакого сходящегося ряда не получится.

Получится. Подпрыгнет шарик бесконечно раз, но и промежуток времени между подпрыгиваниями будет стремиться к нулю. В результате время, требуемое до полной остановки будет конечным: $\sum_{k>0}\frac 1{2^k}=1$. Если шарик каждый раз будет подпрыгивать на половину предыдущей высоты, то и общий путь, пройденный шариком тоже будет конечен. Сюда, кстати, и зеноновские парадоксы можно приплести. Они тоже разрешаются из-за сходимости соотв. ряда.

[Dan B-Yallay]

caxap писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #388787 писал(а):

Так как трения нет, то шарик будет скакать равномерно и безостановочно. Никакого сходящегося ряда не получится.

Получится. Подпрыгнет шарик бесконечно раз, но и промежуток времени между подпрыгиваниями будет стремиться к нулю.

В силу каких причин "промежуток времени между подпрыгиваниями будет стремиться к нулю" ?

[caxap]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #388790 писал(а):

В силу каких причин "промежуток времени между подпрыгиваниями будет стремиться к нулю" ?

Ну это ж очевидно, $\displaystyle \lim\limits_{k\to\infty} \left(\frac 1{2^k} -\frac 1{2^{k+1}}\right)=0$.

[ИСН]

caxap, ну вот чего Вы добиваетесь? Ряд 1-1+1-1+1-1+... расходится.
- А если мы быстро-быстро сложим?
- Он расходится.
- А если...
- Он расходится.
Есть методы обобщённого суммирования, но это другое.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

То есть вы ставите идеальный опыт, чтобы узнать где окажется шарик, при этом указываете шарику как он должен двигаться?

[gris]

А зачем в идеальном мире какая-то электроника? Идеальный мир это, например, система аксиом.
1. Время может принимать любые действительные значения (определить бы в начале, что такое время...)
2. Стол в любой момент времени имеет цвет либо синий, либо красный.
3. Стол может менять и меняет цвет только в моменты времени $1-2^{-k}; k\in\mathbb{N}$
4. В момент времени $0$ стол имеет синий цвет.
Определить цвет стола в момент времени $1$.
Разумеется, было бы наивным предлагать установить момент последней смены цвета. Но можно сказать так: существующая модель не позволяет определить цвет стола в моменты времени, большие $1$. Возможно, что чисто логически эта система аксиом противоречива, ибо предполагает, что стол всегда имеет цвет.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #333696 писал(а):

наблюдение: наибольший флейм разгорается вокруг наименее значимых вопросов

[caxap]

ИСН
Я это понимаю! Меня интересует другое (постараюсь максимально лаконично выразить то, чего я пытаюсь добиться): а если мы поставим эксперимент при идеальный условиях, то что будет?

(Оффтоп)

Вообще говоря, понятие "сходимости" ряда мы же искусственно руками ввели, просто по определению положили, что бесконечная сумма равна пределу частичных сумм. И вы правильно заметили, то это не единственное определение, можно суммировать по методу Чезаро, Абеля и т. д. и многие расходящиеся ряды станут сходящимися. Физика-то вообще не знает о каких-то наших определениях.

gris
Спасибо! Кажись, начинает проясняться.

[Sasha2]

А если еще быть более лаконичным, вычходит, что тот способ, который Вы указываете, на самом деле никак не определяет функцию в точке 1. Что можно сказать, так это то, что в любой момент времени, большем 1, шарик будет в той же самой лунке, в которой он окажется в момент времени, равный 1. Только надо определить КОРРЕКТНО, а не так как у Вас, чему равно значение этой функции, принимающей два значения (1 лунка, 2 лунка) в момент времени, равный 1.

[gris]

Ободрённый похвалой автора, попробую высказать мнение по "функции цвета".
Выставляю такие требования к функции:
1. функция определена на всей числовой оси и может принимать значения 0 и 1.
2. $f(x)|x\leqslant 0=0$
3. $f(1-2^k)|k\in \mathbb {N}=\mod_2 k$
4. $f(x)|x\ne 1-2^k; 0<x<1=f(k: 1-2^k\leqslant x<1-2^{k+1}$. Эта строка корректна, поскольку можно доказать, что такое $k$ существует.
5. А вот для $x>1$ "последнего" $k$ просто не существует и я не вижу способа корректно указать способ определения значения функции в этих точках. То есть мои требования не могут быть определением "функции цвета". Нужно строгое определение, вот что.

Как будто прочитал мысли последнего отметившегося дискутанта в теме .

[caxap]

То есть в идеальном мире ответ невозможно узнать потому, что функция, заданная в задаче не определена при $t\ge 1$. А в реальном -- потому что шарик остановится на каком-то конечном $k$ из-за трения и прочих гадостей.

(gris)

gris в сообщении #388820 писал(а):

Выставляю такие требования к функции:

Странная какая-то у вас нотация... Хаскель напоминает.

[Joker_vD]

caxap

(Оффтоп)

Ну да, обычно пишут так: $f(x)|_{x\leqslant 0}=0$

[Mathusic]

К реальному миру задача вообще отношение малое имеет, а по существу ответ был дан в первом ответе: ф-ция не определена в единице.
Ну а чем это плохо? Пусть ф-ция и определена только на $[0,1)$ в т-ках $\sum{\frac{1}{2^k}}$ и нуле и шарик имеет только два состояния. Имеем дискретное пространство-время; а можно добавить к этому третье состояние шарика - не в лунке $-1$ - доопределить ф-цию в остальных точках полуинтервала...