fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:00 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Эту задачу я придумала сама только что. Влёгкую пойму тех, кому она не понравится.

Рассмотрим последовательность:

$7!, 17!, 37!, \dots$ (факториалы простых чисел, оканчивающихся на 7).

а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

б) Существует ли бесконечное (алеф-нуль) множество таких (см. пункт а) четвёрок (никакие две из которых не имеют общего члена)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Xenia1996)


 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:46 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
caxap в сообщении #388701 писал(а):

(Xenia1996)


(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:22 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #388715 писал(а):
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

Вы правы, насчёт семёрки я прогнала. Моё решение подходит не только для семёрок. Тогда усложняю условие: меняю 7^{7^{2010}} на {13^{13^{13^{2010}}}}

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Для усиления апокалиптичности надо взять $12^{12^{{2012}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:30 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Вы все правы, насчёт факториалов я тоже прогнала. Моё решение подходит не только для факториалов. Тогда усложняю условие: факториал меняю на "факториал плюс единица".
То бишь, 7!+1, 17!+1 \dots

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829
Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):
Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".
Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:39 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ИСН в сообщении #388715 писал(а):
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.

Для 5 класса сойдёт, наверно.
Только алефы-нули ненужные убрать, чтоб не пужали :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:54 
Аватара пользователя


14/08/09
1140

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:02 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
RIP в сообщении #388728 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):
Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".
Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

Хорошо, я - дура.
Давайте разность непостоянной сделаем: факториал плюс простое
$7!+2, 17!+3, 37!+5, \dots$
Моё решение подходит и для этой ситуации. Просто условие я сформулировала поспешно, вот и нсмешила людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3829
Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:38 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
RIP в сообщении #388743 писал(а):
Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

На Есайенсине я уже раскололась:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=26499

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group