Факториалы простых чисел

[Xenia1996]

Эту задачу я придумала сама только что. Влёгкую пойму тех, кому она не понравится.

Рассмотрим последовательность:

$7!, 17!, 37!, \dots$ (факториалы простых чисел, оканчивающихся на 7).

а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

б) Существует ли бесконечное (алеф-нуль) множество таких (см. пункт а) четвёрок (никакие две из которых не имеют общего члена)?

[caxap]

(Xenia1996)

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):

Эту задачу я придумала сама только что.

Интересно, как такие задачи могут приходить в голову ? Даже не представляю, в каком направлении нужно думать, чтобы прийти к вопросу о

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):

а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

[Xenia1996]

caxap в сообщении #388701 писал(а):

(Xenia1996)

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):

Эту задачу я придумала сама только что.

Интересно, как такие задачи могут приходить в голову ? Даже не представляю, в каком направлении нужно думать, чтобы прийти к вопросу о

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):

а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

(Оффтоп)

Если бы я придумала, но не решила, я бы сюда не постила.
А в голову может придти всё, что угодно. Особенно в период подросткового кризиса

[ИСН]

Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #388715 писал(а):

Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

Вы правы, насчёт семёрки я прогнала. Моё решение подходит не только для семёрок. Тогда усложняю условие: меняю 7^{7^{2010}} на {13^{13^{13^{2010}}}}

[RIP]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #388720 писал(а):

Тогда усложняю условие: меняю $7^{7^{2010}}$ на ${13^{13^{13^{2010}}}}$

Лично я не понял, что усложнилось. Для любого натурального числа все члены последовательности, начиная с некоторого, делятся на него.

[gris]

Для усиления апокалиптичности надо взять $12^{12^{{2012}}$

[Xenia1996]

Вы все правы, насчёт факториалов я тоже прогнала. Моё решение подходит не только для факториалов. Тогда усложняю условие: факториал меняю на "факториал плюс единица".
То бишь, 7!+1, 17!+1 \dots

[RIP]

Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):

Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".

Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

[Mathusic]

ИСН в сообщении #388715 писал(а):

Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.

Для 5 класса сойдёт, наверно.
Только алефы-нули ненужные убрать, чтоб не пужали

[RIP]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #388729 писал(а):

Для 5 класса сойдёт, наверно.

Только в пятом классе теорему Дирихле о простых обычно не знают.

[Mathusic]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #388732 писал(а):

Только в пятом классе теорему Дирихле о простых обычно не знают.

А ну да, значит "подвох" в задаче был именно в т. Дирихле? Хм... Ну тогда уж лучше просто дать задачу на д-во ЧС теоремы.

[Xenia1996]

RIP в сообщении #388728 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):

Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".

Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

Хорошо, я - дура.
Давайте разность непостоянной сделаем: факториал плюс простое
$7!+2, 17!+3, 37!+5, \dots$
Моё решение подходит и для этой ситуации. Просто условие я сформулировала поспешно, вот и нсмешила людей.

[RIP]

Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

[Xenia1996]

RIP в сообщении #388743 писал(а):

Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

На Есайенсине я уже раскололась:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=26499