Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!
Градиент очень важен во всякого рода инженерии и входит в стандартный курс матана в любом ВТУЗе, но соответствующего алгебраического формализма (форма, двойственное пространство) в стандартном курсе нет.
Это замечание свидетельствует, что наша дискуссия представляет интерес не только для теоретиков. Ее результаты важны для расчетных отделов исследовательских лабораторий и конструкторских бюро, когда при расчетах полей напряжений или скоростей течения приходится задавать форму решения. Не исключено, что за ходом этой дискуссии будут следить многие сотрудники таких отделов, а также студенты и аспиранты технических вузов. Поэтому имеет смысл все свои комментарии и математические выкладки излагать в предельно прозрачной форме, доступной для этой категории читателей.
…практические вычисления проводятся в
прямоугольных (декартовых) координатах и изменения координат осуществляются
ортогональными преобразованиями, а для них
и поэтому
, т.е.
ковектора преобразуются как вектора. То, что есть пространства, в которых ковектор отличается от вектора -
есть, ну и что? Мы то здесь обсуждаем вполне конкретное пространство.
В котором ковектор совпадает с вектором.
Под конкретным пространством, я полагаю, подразумевается прямоугольная декартова система координат. А теперь посмотрим, что же у нас получается. Мы берем три производные произвольной скалярной функции и объявляем их компонентами ковектора. Но поскольку в данной системе координат законы преобразования вектора и ковектора
одинаковы, то
ковектор по сути есть вектор. , как утверждает Vallav. Такой же вывод вытекает и отсюда
если заданы три функции, то они могут быть и координатами вектора, и координатами ковектора
по нашему выбору
В таком случае, как все это состыковать с утверждениями
в трёхмерном пространстве градиент скалярной функции - не вектор, а ковектор.
градиент не является вектором ни в каком векторном пространстве, если его размерность больше 1...
К тому же
Различие между векторами и ковекторами проявляется при переходе к другой системе. Они преобразуются по разным законам.
Так все-таки, в прямоугольной системе координат они преобразуются по одинаковым, как утверждает paha, или по разным законам, как утверждает shwedka?
С уважением, Александр Козачок