Мне кажется, логично предположить, что шарик не проскальзывает, тогда чисто механическая часть задачи получается довольно простой.
А я эту возможность себе начисто заблокировал. Думал, что невозможно добиться того, чтобы направление магнитного момента верхнего магнита был постоянным. И лишь после прочтения Вашего сообщения увидел, как этого можно добиться. Для этого достаточно, чтобы центр нижний магнита был смещен вдоль плоскости стекла не только вперед вдоль направления поступательного движения, но и чуть вправо или влево. Ну и, по всей видимости, так и происходит в эксперементах, когда движение устанавливается. А я думал, что устанавливается не равномерное, а периодическое движение, при котором магниный момент верхнего магнита вращается вокруг вертикальной оси.
Цитата:
Если мы рассматриваем равномерное движение (и равномерное же вращение), то
,
и
(разумеется, это равенство проще получить, полагая
,
в исходных уравнениях).
Тогда действительно механическая часть задачи становится настолько простой, что все определяется этой формулой (которую, действительно, можно получить в уме, если сразу предположить, что проскальзывания нет, шаровой магнит равномерно вращается вокруг оси, параллельной его магнитному моменту и катится по стеклу равномерно по прямой).
Цитата:
Дальше нужно анализировать магнитную силу и момент, об этом в следующий раз
Сила и момент силы, действующие со стороны точечного магнитного момента
на точеный магнитный момент
имеют вид
![$$
\vec{\mathcal{F}}
=
3
\dfrac
{\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2\ r^2\ \vec{r}
-
5 \vec{m}_1\cdot\vec{r}\ \vec{m}_2\cdot\vec{r}\
\vec{r}
+
\vec{m}_2\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{m}_1
+
\vec{m}_1\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{m}_2}
{r^7}
,
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/9/f596a7f7034b804dc4896967b8164f7982.png "$$
\vec{\mathcal{F}}
=
3
\dfrac
{\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2\ r^2\ \vec{r}
-
5 \vec{m}_1\cdot\vec{r}\ \vec{m}_2\cdot\vec{r}\
\vec{r}
+
\vec{m}_2\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{m}_1
+
\vec{m}_1\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{m}_2}
{r^7}
,
$$")
где
— радиус-вектор, направленный от
к
. По идее, для того, чтобы решить задачу от каждого из этих выражений (и плюс еще от кой-чего) нужно взять шестикратный интеграл, проинтегрировав по объемам шара и цилиндра.
Если же считать, что магниты представляют собой шар и цилиндр из немагнитных материалов, в центры которых жестко заделаны точечные магниты с моментами
и
, то, с учетом того, что
из выписанного Вами уравнения следует
![\begin{multline*}
\dfrac
{3\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{\omega}\times\vec{r}
-
\vec{n}\times\vec{\omega}\ r^2}
{r^5}
+
\\
+
3 R
\dfrac
{\vec{\omega}\cdot\vec{n}\ r^2\
\vec{n}\times\vec{r}
-
5 \vec{\omega}\cdot\vec{r}\
\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{n}\times\vec{r}
+
\vec{n}\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{n}\times\vec{\omega}}
{r^7}
=
0
.
\end{multline*}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/3/d33036acfba5e2c7857a5642086148af82.png "\begin{multline*}
\dfrac
{3\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{\omega}\times\vec{r}
-
\vec{n}\times\vec{\omega}\ r^2}
{r^5}
+
\\
+
3 R
\dfrac
{\vec{\omega}\cdot\vec{n}\ r^2\
\vec{n}\times\vec{r}
-
5 \vec{\omega}\cdot\vec{r}\
\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{n}\times\vec{r}
+
\vec{n}\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{n}\times\vec{\omega}}
{r^7}
=
0
.
\end{multline*}")
Введя векторы единичной длины
и
так, что
направлен вдоль скорости поступательного движения, и
, имеем
где
— расстояние между центрами магнитов, когда они покоятся (т.е. сумма радиуса шара, толщины стекла и половины высоты цилиндра). Подставив это в векторное уравнение, получим три скалярных уравнения для трех неизвестных
,
и
. Соотношение между поступательной скоростью
и угловой имеет вид
На первый взгляд здесь кажется удивительным то, что результат не зависит от "силы" магнитов. Причем это имеет место и для более реальной постановки задачи с интегрированием, т.к. произведения модулей намагниченностей в магнитах тоже сократится. Но поразмышляв, я пришел к выводу, что магниты должны быть достаточно сильными только для того, чтобы обеспечить непроскальзывание и устойчивость движения.
и сила трения 
(вертикальные силы компенсируются, их рассматривать не будем), а также момент магнитных сил 
и момент силы трения 
. Здесь 
--- радиус шара, 
--- нормаль к плоскости, по которой он катается. Имеем уравнения поступательного и вращательного движений
--- масса шара, 
--- его момент инерции, 
--- скорость его центра масс, 
--- угловая скорость его вращения), а также связь --- условие отсутствия проскальзывания
![\begin{multline*}
\dfrac
{3\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{\omega}\times\vec{r}
-
\vec{n}\times\vec{\omega}\ r^2}
{r^5}
+
\\
+
3 R
\dfrac
{\vec{\omega}\cdot\vec{n}\ r^2\
\vec{n}\times\vec{r}
-
5 \vec{\omega}\cdot\vec{r}\
\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{n}\times\vec{r}
+
\vec{n}\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{n}\times\vec{\omega}}
{r^7}
=
0
.
\quad
\eqno{(1)}
\end{multline*}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b3194bdbb63a15466484030b2fee0e182.png "\begin{multline*}
\dfrac
{3\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{\omega}\times\vec{r}
-
\vec{n}\times\vec{\omega}\ r^2}
{r^5}
+
\\
+
3 R
\dfrac
{\vec{\omega}\cdot\vec{n}\ r^2\
\vec{n}\times\vec{r}
-
5 \vec{\omega}\cdot\vec{r}\
\vec{n}\cdot\vec{r}\ \vec{n}\times\vec{r}
+
\vec{n}\cdot\vec{r}\ r^2\ \vec{n}\times\vec{\omega}}
{r^7}
=
0
.
\quad
\eqno{(1)}
\end{multline*}")
дает 
. А проекция этого уравнения на 
и 
(
) при помощи соотношения 
(тогда 
), получим следующее уравнение для определения ![\begin{multline*}
-
\left[3\cos\Theta\sin(\Theta-\theta)-\sin\theta\right]
\dfrac{H}{\cos\Theta}
+
\\
+
3 R
\left[
\cos\theta\sin\Theta
-
5 \cos(\Theta-\theta)\cos\Theta\sin\Theta
+
\cos\Theta\sin\theta
\right]
=
0
.
\quad
\eqno{(2)}
\end{multline*}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/a/19a9e9ac69282714165ea4d7264cd1f482.png "\begin{multline*}
-
\left[3\cos\Theta\sin(\Theta-\theta)-\sin\theta\right]
\dfrac{H}{\cos\Theta}
+
\\
+
3 R
\left[
\cos\theta\sin\Theta
-
5 \cos(\Theta-\theta)\cos\Theta\sin\Theta
+
\cos\Theta\sin\theta
\right]
=
0
.
\quad
\eqno{(2)}
\end{multline*}")
