Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)

[Tlalok]

В сборнике заданий для подготовки к тестированию (автор Титаренко А. М.) встретил симпатичное уравнение четвертой степени:
$(x^2-5*x+7)^2-5*(x^2-5*x+7)+7=x$
Мне кажется его можно свести к квадратному уравнению, проблема в том, что никак не могу подобрать замену.
Пробовал решать графически. Получил два целых корня 1 и 3. Зная их разложил на множители. А дальше все просто.
Но мне кажется должен быть метод проще. Может кто подскажет.

[gris]

прямо напрашивается дополнительная переменная, равная выражению в скобках.

[AD]

На мой вкус, не очень прямо. Там еще справа х...

P.S.

Tlalok в сообщении #386884 писал(а):

$5*x$

Нееееет, только не умножение звёздочкой!
Умоляю, я всё прощу!

[venco]

AD в сообщении #386892 писал(а):

На мой вкус, не очень прямо. Там еще справа х... :roll

Весьма прямо. Справа $x$ не помешает.

[arseniiv]

(Конструктивное предложение не по задаче)

Может, к списку сообщений, которые показываются в шапке форума то одно, а то другое, добавить сообщение, просящее пощады замены $ * $ на $ \cdot $?

[venco]

gris в сообщении #386891 писал(а):

прямо напрашивается дополнительная переменная, равная выражению в скобках.

Хотя я, наверно, имел в виду другое: пусть $x^2-5x+7=x$, тогда...

[ИСН]

Да, случай довольно экзотический. Уравнение имеет вид $f(f(x))=x$; очевидно, что корни $f(x)=x$, если таковые есть, являются также и его...

[Gortaur]

Получается, что $f(f(x)) = x$. То есть если бы это было для всех $x$ - тогда бы график был симметричен относительно $y=x$.

[ewert]

Проблема в том, как найти два именно целых корня. Чего-то ничего не лезет в голову, кроме как честно разложить на множители, вынеся за скобки $x^2-6x+7$ (это то самое уравнение $f(x)=x$, порождающее иррациональные корни). Конечно, это легко делается, но...

[ИСН]

Ну а что? Нормально.
(Да, можно было вообще не морочиться, а тупо угадать, наоборот, сначала именно их - делители своб.члена и всё такое - потом понизить и выцепить этих.)

[ewert]

Gortaur в сообщении #386905 писал(а):

Получается, что $f(f(x)) = x$. То есть если бы это было для всех $x$ - тогда бы график был симметричен относительно $y=x$.

Лучше рассуждать иначе -- рассмотреть систему $y=f(x)$ и $x=f(y)$. Из неё уже следует: если уравнение вообще имеет решения, то как минимум два из них (с учётом кратности) получаются пересечением графика $y=f(x)$ и биссектрисы $y=x$.

-- Пн дек 13, 2010 18:52:12 --

ИСН в сообщении #386914 писал(а):

Да, можно было вообще не морочиться, а тупо угадать, наоборот, сначала именно их - делители своб.члена и всё такое

Это неспортивно -- задачка явно именно на пересечение с биссектрисой.

[gris]

Подождите, о чём вы? Получается система. Взять да и вычесть уравнения. Там всё раскладывается. И биссектриса тоже вылезает. И подстановочки, две их.

[mkot]

(Оффтоп)

AD в сообщении #386892 писал(а):

P.S.

Tlalok в сообщении #386884 писал(а):

$5*x$

Нееееет, только не умножение звёздочкой!
Умоляю, я всё прощу!

Обратите внимание на название темы =).

[Tlalok]

Спасибо Всем, принявшим участие.
Как говориться, одна голова - хорошо, а когда их много....

[arseniiv]

А когда их много, надо провериться у окулиста и психиатра!

-- Сб дек 25, 2010 23:23:21 --

Tlalok в сообщении #391460 писал(а):

Как говориться

И у орфографа (если такой есть).