2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:05 
Аватара пользователя
В сборнике заданий для подготовки к тестированию (автор Титаренко А. М.) встретил симпатичное уравнение четвертой степени:
$(x^2-5*x+7)^2-5*(x^2-5*x+7)+7=x$
Мне кажется его можно свести к квадратному уравнению, проблема в том, что никак не могу подобрать замену.
Пробовал решать графически. Получил два целых корня 1 и 3. Зная их разложил на множители. А дальше все просто.
Но мне кажется должен быть метод проще. Может кто подскажет.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:18 
Аватара пользователя
прямо напрашивается дополнительная переменная, равная выражению в скобках.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:21 
На мой вкус, не очень прямо. Там еще справа х... :roll:

P.S.
Tlalok в сообщении #386884 писал(а):
$5*x$
 i  Нееееет, только не умножение звёздочкой!
Умоляю, я всё прощу!

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:27 
AD в сообщении #386892 писал(а):
На мой вкус, не очень прямо. Там еще справа х... :roll
Весьма прямо. Справа $x$ не помешает.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:31 

(Конструктивное предложение не по задаче)

Может, к списку сообщений, которые показываются в шапке форума то одно, а то другое, добавить сообщение, просящее пощады замены $ * $ на $ \cdot $?

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:33 
gris в сообщении #386891 писал(а):
прямо напрашивается дополнительная переменная, равная выражению в скобках.
Хотя я, наверно, имел в виду другое: пусть $x^2-5x+7=x$, тогда...

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:38 
Аватара пользователя
Да, случай довольно экзотический. Уравнение имеет вид $f(f(x))=x$; очевидно, что корни $f(x)=x$, если таковые есть, являются также и его...

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:41 
Получается, что $f(f(x)) = x$. То есть если бы это было для всех $x$ - тогда бы график был симметричен относительно $y=x$.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:45 
Проблема в том, как найти два именно целых корня. Чего-то ничего не лезет в голову, кроме как честно разложить на множители, вынеся за скобки $x^2-6x+7$ (это то самое уравнение $f(x)=x$, порождающее иррациональные корни). Конечно, это легко делается, но...

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:48 
Аватара пользователя
Ну а что? Нормально.
(Да, можно было вообще не морочиться, а тупо угадать, наоборот, сначала именно их - делители своб.члена и всё такое - потом понизить и выцепить этих.)

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 17:50 
Gortaur в сообщении #386905 писал(а):
Получается, что $f(f(x)) = x$. То есть если бы это было для всех $x$ - тогда бы график был симметричен относительно $y=x$.

Лучше рассуждать иначе -- рассмотреть систему $y=f(x)$ и $x=f(y)$. Из неё уже следует: если уравнение вообще имеет решения, то как минимум два из них (с учётом кратности) получаются пересечением графика $y=f(x)$ и биссектрисы $y=x$.

-- Пн дек 13, 2010 18:52:12 --

ИСН в сообщении #386914 писал(а):
Да, можно было вообще не морочиться, а тупо угадать, наоборот, сначала именно их - делители своб.члена и всё такое

Это неспортивно -- задачка явно именно на пересечение с биссектрисой.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 18:49 
Аватара пользователя
Подождите, о чём вы? Получается система. Взять да и вычесть уравнения. Там всё раскладывается. И биссектриса тоже вылезает. И подстановочки, две их.

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение13.12.2010, 19:02 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

AD в сообщении #386892 писал(а):

P.S.
Tlalok в сообщении #386884 писал(а):
$5*x$
 i  Нееееет, только не умножение звёздочкой!
Умоляю, я всё прощу!


Обратите внимание на название темы =).

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение25.12.2010, 17:21 
Аватара пользователя
Спасибо Всем, принявшим участие.
Как говориться, одна голова - хорошо, а когда их много....
:-)

 
 
 
 Re: Уравнение четвертой степени (из серии со звездочкой)
Сообщение25.12.2010, 20:22 
А когда их много, надо провериться у окулиста и психиатра!

-- Сб дек 25, 2010 23:23:21 --

Tlalok в сообщении #391460 писал(а):
Как говориться
И у орфографа (если такой есть).

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group