Помогите решить (общая физика - механика)

[Eiktyrnir]

Уважаемые физики, корифеи!
Помогите в очередной раз, если не затруднит.
1. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно $2,7$ м, начала подниматься с постоянным ускорением $1,2$ $\frac{m}{c^2}$ (to Moderator's- извините немогу никак научиться использовать русский в math-е). Через $2,0 c$ после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:
а) время свободного падения болта;
б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчёта, связанной с шахтой лифта.
Вроде бы несложно, но тем не менее...
а) $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(2,7+h_1)}{g}}=1,02$c, где $h_1=\frac{at^2}{2}$
б) немного не пойму... думаю что так $h=\frac{(a+g)t^2}{2}$ - это путь...
Дальше немного не соображу...
2. Гладкий наклонный желоб имеет в нижней части горизонтальный участок. По желобу соскальзывает с высоты $h=2$ м брусок массой $m=0,2$ кг. Начальная скорость $V_0$ бруска равна нулю. Определить изменение импульса бруска и импульс $p$, полученный желобом при движении тела.
Проще некуда... $\delta p=p_2-p_1=m(V-V_0)=mV$
На высоте $h$ брусок обладал запасенной потенциальной энергией, которая при соскальзывании бруска вниз перешла в энергию его движения (не считая потерь на трение о желоб)
$mgh=\frac{mV^2}{2}$, как известно отсюда интересно только что $V=\sqrt{2gh}$ и поэтому $\delta p=m\sqrt{2gh}=1,25$Н, но вот дальше ... что это получается при движении бруска стенки желоба все-таки грелись и желоб получил вместе с нагревом еще и импульс... типа $E=\frac{p^2}{2m}$, откель $p=\sqrt{2mE_k}=\sqrt{m^2V^2}=\sqrt{2ghm^2}=m\sqrt{2gh}=\delta p$ так?
3. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека $M=60$ кг, масса доски $m=20$ кг. С какой скоростью $V$ (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) $u=1$ м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.
Или совсем легко или я совсем дурак … закон сохранения импульса – импульс переданный человеком при движении по доске равен импульсу полученному тележкой за счет которого она и движется
$Mu=mV$, отсюда $V=\frac{M}{m}u=3$ - «как будто» в $3$ раза быстрее тележка едет относительно пола… или все-таки дурак?
4. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k$ лежит тело массы $m$. В момент времени $t=0$ к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как $F=bt$, где $b$ – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые $t$ секунд действия этой силы.
Получил ответ … не зависящий от $t$ явно… призадумался… а то ли нашел…
$S=\frac{k^3m^2g^3}{2b^2}$
получил его несложно…
Во время движения (за счет действия силы $F$) тело тормозится силой трения $F_{tr}$ о поверхность горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k$.
$F=F_{tr}$
$F_{tr}=kmg$
$bt=kmg$, отсюда найдем время, на котором действует сила трения
$t=\frac{kmg}{b}$
Далее запишем выражение для пути пройденным телом во время своего движения за время $t$
$S(t)=\frac{at^2}{2}$
ускорение найду из $ma=bt$, $a=\frac{bt}{m}$ - тогда получу $S=\frac{k^3m^2g^3}{2b^2}$

Не сочтите за труд – подскажите пожалуйста…
С глубоким к вам всем уважением, eiktyrnir

[whiterussian]

В пeрвой задаче: какова была начальная скорость болта?
по второй задаче: импульс есть величина векторная.
Третья - посмотрите на движение центра масс...
Четвертая: Вас не смущает, что у вас сила трения от времени зависит?

[pittite]

Eiktyrnir в сообщении #385082 писал(а):

1. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно $2,7$ м, начала подниматься с постоянным ускорением $1,2$ $\frac{m}{c^2}$

Можно рассматривать движение в неинерциальной СО, связанной с лифтом. В этой системе на болт действует сила инерции и сила тяжести, обе постоянны. Требуется найти время, затраченное на преодоление известного расстояния равноускоренно движущимся телом.

Eiktyrnir в сообщении #385082 писал(а):

б) перемещение и путь

Перемещение - разность конечной и начальной координат тела в указанной СО, путь - интеграл скорости тела.

Eiktyrnir в сообщении #385082 писал(а):

$F=F_{tr}$

Из каких соображений? В условии не говорится о неускоренном движении.

[Eiktyrnir]

whiterussian писал(а):

В пeрвой задаче: какова была начальная скорость болта?

Я так понимаю, что $V_0=0$ (ну или по крайней мере в формулировке это напрямую не сказано и мы вольны так сделать)... тогда с учетом того, что сказал уважаемый pittite получается, что
а) $t=\sqrt{\frac{l}{a+g}}=\sqrt{\frac{2,7}{1,2+9,8}}=0,5$ с

pittite писал(а):

Перемещение - разность конечной и начальной координат тела в указанной СО

б) $\delta l=l_2-l_1=4,8-2,7=2,1$ м

pittite писал(а):

путь - интеграл скорости тела

$S(t)=\int V(t)dt=\int (a+g)tdt=\frac{(a+g)t^2}{2}+S_0=\frac{(a+g)t^2}{2}+2,7$
и наконец $S(t=2)=\frac{(1,2+9,8)2^2}{2}+2,7=24,7$ м (смущает результат)

whiterussian писал(а):

по второй задаче: импульс есть величина векторная.

Да я вас понимаю, но пока немогу понять каким образом "векторность" импульса я могу здесь использовать...
ПРОЩУ ПРОЩЕНИЯ...нашел для таких как я нечто похожее
http://irodov.nm.ru/other/chertov/resh/2_14.htm

whiterussian писал(а):

Третья - посмотрите на движение центра масс...

Кажись так... $V_c=\frac{Mu}{M+m}$ - это скорость центра масс (та которая не меняется при любых внешних воздействиях на систему), немогу дальше логику проследить - что из этого следует, что $V=V_c$? т.е. $V=\frac{Mu}{M+m}=\frac{60*1}{60+20}=\frac{3}{4}$ (м/с)... т.е. все-таки медленнее едет тележка относительно пола...так?

whiterussian писал(а):

Четвертая: Вас не смущает, что у вас сила трения от времени зависит?

теперь после ваших слов смущает... честно говоря отупел за последнее время и весьма существенно... вообщем если быть предельно честным, то надо писать так...
$\frac{dp}{dt}=F$
$m\frac{dV}{dt}=bt-kmg$
$\int dV=\int \frac{bt-kmg}{m}dt$
$V=\frac{bt^2}{2m}-kgt+V_0$
пусть $V_0=0$, то $S(t)=\frac{bt^3}{6m}-\frac{kgt^2}{2}+S_0$ положим и $S_0=0$, то $S(t)=\frac{bt^3}{6m}-\frac{kgt^2}{2}$

pittite писал(а):

Из каких соображений? В условии не говорится о неускоренном движении.

не из каких, а потому что осел я.

[pittite]

Eiktyrnir в сообщении #385505 писал(а):

а) $t=\sqrt{\frac{l}{a+g}}=\sqrt{\frac{2,7}{1,2+9,8}}=0,5$ с

двойку потеряли?

Eiktyrnir в сообщении #385505 писал(а):

б) $\delta l=l_2-l_1=4,8-2,7=2,1$ м

Что здесь $l_1$ и $l_2$? А вообще-то начальная точка свободного падения болта совпадает с положением потолка кабины в момент времени $t_0=2\,s$, а конечная - с положением пола кабины в момент $t+t_0$, где $t$ вычислено в предыдущем пункте. Разность этих двух координат в СО, связанной с шахтой лифта, есть искомое перемещение в этой СО.

Eiktyrnir в сообщении #385505 писал(а):

$S(t)=\int V(t)dt$

Не совсем так. Речь идет о пути, пройденном телом за промежуток времени $t_1..t_2$ (в этой задаче $t_1=2\,s$). Поэтому в данном случае верно так:

$$S=\int_{t_1}^{t_2} |V(t)|dt$$

Должен признаться, что я Вас ввел в заблуждение, утерждая, что

pittite в сообщении #385165 писал(а):

путь - интеграл скорости тела

На самом деле путь - это длина траектории тела, которая (траектория) в общем случае есть кривая линия; именно по этой причине в подинтегральном выражении стоит модуль скорости. Почитайте, например, здесь про длину кривой.

Заметьте, что выразить пройденный путь как $S(t_2-t_1)$ неправильно, т.к. очевидно, что ускоренно движущееся тело может пройти разные пути за интервалы времени, скажем, от 1 до 2 сек и от 5 до 6 сек, хотя длительность интервала и там, и там равна одной секунде. Иными словами, путь за интервал времени не является функцией величины этого интервала.

Наконец, подумайте о том, какой могла бы быть траектория движения болта в СО, связанной с шахтой лифта, особенно если учесть, что как минимум первые две секунды болт двигался вверх (а как дальше?).

Eiktyrnir в сообщении #385505 писал(а):

а потому что осел я.

Как тут уже практиковалось, объявляю Вам замечание за оскорбление участника форума. Шутка, конечно. Но и так уж сильно критиковать себя не стоит - ошибаются все, кто хоть что-нибудь делает.

Eiktyrnir в сообщении #385505 писал(а):

$S(t)=\frac{bt^3}{6m}-\frac{kgt^2}{2}+S_0$ положим и $S_0=0$

Здесь Вы путаете координату, получаемую интегрированием скорости, с путём. Получаемая в результате интегрирования постоянная $S_0$ отражает произвольность выбора начала системы отсчета (этот произвол никак не отражается на скорости тела). В данной задаче предполагается нулевая начальная скорость и постоянство направления равнодействующей, поэтому тело движется все время в одном и том же направлении вдоль некоторой прямой. И только благодаря этому путь совпадает с перемещением. А перемещение как разность координат не зависит от выбора начала координат (впрочем, и пройденный путь - тоже). Поэтому фраза "положим и $S_0=0$" просто излишняя - какой бы Вы не положили величину $S_0$, в определенном интеграле, определяющем путь, эта константа не фигурирует.

Да, и такой совет: рисуйте, хотя бы черновички. Рисуйте траектории, силы и т.д. Это здорово помогает.

[Eiktyrnir]

pittite писал(а):

двойку потеряли?

Точнее $\sqrt{2}$. Да вы правы – потерял… реабилитация $t=\sqrt{\frac{2l}{g+a}}=0,7\,s$

pittite писал(а):

Что здесь $l_1$ и $l_2$? А вообще-то начальная точка свободного падения болта совпадает с положением потолка кабины в момент времени $t_0=2\,s$, а конечная - с положением пола кабины в момент $t+t_0$, где $t$ вычислено в предыдущем пункте. Разность этих двух координат в СО, связанной с шахтой лифта, есть искомое перемещение в этой СО.

Да, и вот именно сейчас я наконец-таки понял формулировку вопроса в пункте б) с вашей помощью, уважаемый. Написал снова я чепуху потому как плохо соображал, к тому же еще ночью… Вообщем после вразумления вот она реабилитация…(ну или не совсем она)
$\delta l=l_2-l_1$, где
$l_1=\frac{(a+g)t_0^2}{2}=\frac{(1,2+9,8)2^2}{2}=22\,m$ при $t_0=2\,s$
$l_2=\frac{(a+g)t_1^2}{2}=\frac{(1,2+9,8)(2,7)^2}{2}=40,095\,m$ при $t_1=t_0+t=2+0,7=2,7\,s$ - так как болт упал за $0,7\,s$ и уже «успокоившись лежал на полу лифта». И в итоге получается… $\delta l=l_2-l_1=40,095-2,4=37,7\,m$ - т.е. за эти $0,7\,s$ лифт проехал аж $37,7\,m$ - а не много ли... проехал за $0,7\,s$?
СТОП все ДОШЛО...
$l_1=\frac{at_0^2}{2}=2,4$ - так точнее будет...ммм...
короче окончательно запутался я в вопросе именно пути болта при свободном падении... - где тут моя ошибка?

pittite писал(а):

Не совсем так. Речь идет о пути, пройденном телом за промежуток времени $t_1..t_2$ (в этой задаче $t_1=2\,s$). Поэтому в данном случае верно так:

$$S=\int_{t_1}^{t_2} |V(t)|dt$$

Должен признаться, что я Вас ввел в заблуждение, утерждая, что

pittite в сообщении #385165 писал(а):

путь - интеграл скорости тела

На самом деле путь - это длина траектории тела, которая (траектория) в общем случае есть кривая линия; именно по этой причине в подинтегральном выражении стоит модуль скорости. Почитайте, например, здесь про длину кривой.
Заметьте, что выразить пройденный путь как $S(t_2-t_1)$ неправильно, т.к. очевидно, что ускоренно движущееся тело может пройти разные пути за интервалы времени, скажем, от 1 до 2 сек и от 5 до 6 сек, хотя длительность интервала и там, и там равна одной секунде. Иными словами, путь за интервал времени не является функцией величины этого интервала.

Да я вас прекрасно тогда понял, ничего вы не ввели в заблуждение, но я по своему слабоумию написал снова чепуху. Вы $1000$ раз правы.

pittite писал(а):

Наконец, подумайте о том, какой могла бы быть траектория движения болта в СО, связанной с шахтой лифта, особенно если учесть, что как минимум первые две секунды болт двигался вверх (а как дальше?).

Кстати весьма интересный вопрос. Я подумал над этим – по сути пока он не начал падать – да он двигался наверх с ускорением самого лифта $a$, но вот потом он очевидно повел себя несколько иначе за счет ускорения свободного падения $g$ - мне даже думается, да нет я просто уверен, что раз $a<g$ (хотя даже если бы это было и не так – то все равно вниз за счет равноускоренного движения, или я ошибаюсь?!)- то болт все-таки решил искать свое место на полу, причем по весьма замысловатой траектории (за счет продолжающегося движения наверх). Думаю остановится над этими рассуждениями и записать вот что

$$S=\int_{t_1}^{t_2} |V(t)|dt=\int_ {2}^{2,7} (g+a)tdt=\frac{(g+a)}{2}(t_2^2-t_1^2)=\frac{9,8+1,2}{2}(2,7^2-2^2)=18,095$$

И все же не дает мне покоя уже неделю эта первая задача…

(Оффтоп)

Насчет осла поймите меня правильно – это констатация факта. У нас преподаватель по общей физике (Мастеров Виктор Сергеевич) как-то говорил, что теорема Гаусса для потока вектора «и ежу понятна» - так вот я ощущаю себя хуже того ежа. А уж осел – это даже завышенная самооценка.

pittite писал(а):

Здесь Вы путаете координату, получаемую интегрированием скорости, с путём. Получаемая в результате интегрирования постоянная $S_0$ отражает произвольность выбора начала системы отсчета (этот произвол никак не отражается на скорости тела). В данной задаче предполагается нулевая начальная скорость и постоянство направления равнодействующей, поэтому тело движется все время в одном и том же направлении вдоль некоторой прямой. И только благодаря этому путь совпадает с перемещением. А перемещение как разность координат не зависит от выбора начала координат (впрочем, и пройденный путь - тоже). Поэтому фраза "положим и $S_0=0$" просто излишняя - какой бы Вы не положили величину $S_0$, в определенном интеграле, определяющем путь, эта константа не фигурирует.

Да вы правы – это начальное положение ни на что не влияет. Ответ может быть как с ним так и без него. Я уже успокоился насчет этой задачи… Спасибо еще раз вам…

pittite писал(а):

Да, и такой совет: рисуйте, хотя бы черновички. Рисуйте траектории, силы и т.д. Это здорово помогает.

Да я вас понимаю, что вы говорите – вы правы.
Совета вашего придерживаюсь и действительно рисую, но помимо того, что туго соображаю – иногда и рисую и весьма прескверно надо сказать.

[Eiktyrnir]

Eiktyrnir писал(а):

короче окончательно запутался я в вопросе именно пути болта при свободном падении

Прошу у всех прощения! Нашел - разобрался.
http://irodov.nm.ru/1/resh/1_15.htm
to pittite - огромное вам спасибо, но к сожалению мой уровень достаточно низок, чтобы понять даже такие простые истины... по человечески правда, спасибо.
[quote="pittite"](а как дальше?)
Вот теперь только стало ясно как дальше,- весьма замысловато все-таки - он (болт) будет падать вниз, но вместе с поднимающейся шахтой лифта он в то же время и будет двигаться вверх, после того как он упадет на пол лифта он продолжит свое движение вверх.

(Оффтоп)

до меня доходит как до жирафа