Как развить >3-мерную интуицию?

[caxap]

сабж

[Padawan]

Решать задачи по линейной алгебре -- строить базисы подпространств, находить линейные оболочки, проекции, ортогональные дополнения и т.д.

-- Пт дек 10, 2010 16:12:44 --

Парадокс: бесконечномерную интуицию развить проще, чем 4-мерную.

[kolas]

Заниматься лепкой, например с пластилином можно поиграться. Мне в детстве нравилось ниточкой пластилин резать, очень занятно.

[Kitozavr]

Padawan в сообщении #385711 писал(а):

Парадокс: бесконечномерную интуицию развить проще, чем 4-мерную.

А как вообще можно представить бесконечномерное пространство?

[caxap]

Padawan в сообщении #385711 писал(а):

Решать задачи по линейной алгебре -- строить базисы подпространств, находить линейные оболочки, проекции, ортогональные дополнения и т.д.

Да, об этом мне уже подсказали. Читаю учебник потихоньку. Но хочется (хотя бы немного) развить "геометрическую" интуицию, т. е. не просто чисто механическим путём получать какие-то выводы, рассматривая линейные пространства, СЛАУ и др., а геометрически: так же как я могу интуитивно представить, что две (2-хмерные) плоскости в (3-хмерном) пространстве пересекаются по прямой или не пересекаются вообще -- без всякой линейной алгебры.

Ну или, скажем, в уме представлять какие-ниубдь проекции 4-куба на плоскость, пересечение многоменрных фигур... Или я замечтался, так нельзя?

[Kitozavr]

caxap в сообщении #385768 писал(а):

Ну или, скажем, в уме представлять какие-ниубдь проекции 4-куба на плоскость, пересечение многоменрных фигур... Или я замечтался, так нельзя?

Можно: Гиперкуб; и посмотрите это: http://www.dimensions-math.org/

[Munin]

Padawan в сообщении #385711 писал(а):

Парадокс: бесконечномерную интуицию развить проще, чем 4-мерную.

Ну, кому как. Мне, например, оказалось 4-мерную проще ($\infty$-мерную так до конца и не развил).

-- 10.12.2010 17:30:38 --

caxap в сообщении #385768 писал(а):

Но хочется (хотя бы немного) развить "геометрическую" интуицию, т. е. не просто чисто механическим путём получать какие-то выводы, рассматривая линейные пространства, СЛАУ и др., а геометрически: так же как я могу интуитивно представить, что две (2-хмерные) плоскости в (3-хмерном) пространстве пересекаются по прямой или не пересекаются вообще -- без всякой линейной алгебры.

Я сначала подумал, что мой ответ полностью покрывается ответом Padawan, но после этих слов могу что-то посоветовать. Решайте не просто задачи, а те, которые ставите сами себе. Конкретно, начните с какой-то геометрической формулировки: разобраться, как могут быть взаимно расположены две 2-плоскости в 4-пространстве. Потом аккуратно переведите её на язык алгебры. Решите её методами алгебры. И потом тот результат, который вы получили, снова "геометризуйте", переводите на язык объектов и образов. Постепенно у вас появится ощущение, что вы можете "видеть" 4-мерное пространство. Вы будете знать, как ведут себя 4-мерные объекты. Разбираясь таким образом, вы привыкнете к их свойствам, и вам не придётся их с трудом каждый раз рассчитывать, а можно будет просто вспоминать, всё легче и легче. Тогда это и будет интуиция.

По поводу визуализации. Мне помогали приёмы, аналогичные тому, как на плоской бумаге или экране изображают трёхмерные объекты:
- проекция. Лучше всего проекция сбоку, по диагонали, из какого-то общего положения, аналогичная чертёжной аксонометрической. При этом выгодно натренироваться "вертеть" 4-мерные объекты, сохраняя их форму, но беря проекцию под разными углами.
- "размеченная" или "раскрашенная" проекция. В этом варианте все точки 4-мерного объекта (или лучше рамки, которая его очерчивает) проецируются на 3-мерное пространство, но дополнительно для каждой точки кодируется её 4-я координата, "4-высота". Например, положительные координаты могут менять цвет точки от чёрного (серого) до красного, а отрицательные - до синего. Или можно представлять себе точки с $x_4=0$ как чёткие, "резкие", а точки с другими $x_4$ как размытые, "нерезкие", причём чем больше "4-высота", тем меньше резкость. Или какой-то ещё вариант, который вам придумается.
- сечение. Тут всё проще всего: мы видим не всё 4-пространство, а только то, что пересекается с некоторой нашей 3-плоскостью. Его удобно применять не само по себе, а в сочетании с предыдущими методами "проекции".

[caxap]

Проверьте, пожалуйста, я правильно мыслю? Вот, давайте рассмотрим 5-мерное пространство и пересечём там 3-плоскость с 2-плоскостью. 3-плоскость в 5-мерном пространстве записывается СЛАУ, в которой 3 переменные свободные, т. е. независимых уравнений $5-3=2$. Аналогично, 2-плоскость задаётся СЛАУ с 3 независимыми уравнениями. Для нахождения пересечения, объединим эти СЛАУ. Получим 5 уравнений и 5 неизвестных, т. е. пересечение либо точка, либо ничего. Так?

Если пересечь две 2-плоскости в 5-мерном пространстве, то "объединённая" система будет содержать 6 независимых уравнений, а т. к. неизвестных 5, то решений у системы нет и две 2-плоскости не пересекаются. Так?

[Mathusic]

caxap в сообщении #385883 писал(а):

Вот, давайте рассмотрим 5-мерное пространство и пересечём там 3-плоскость с 2-плоскостью.

Но может случиться и так, например, что 3-плоскость будет содержать один из базисных векторов 2-плоскости, и тогда пересечение будет по одномерному пространству.
С другой стороны, конечно, пространство натянутое на эти плоскости будет 4-мерным, но это не мешает рассматривать их в контексте пятимерного.

[caxap]

Mathusic, а в каком месте я напортачил тогда в рассуждения про СЛАУ? (P.S. Запятые у вас убежали со своих мест )

[arseniiv]

Получиться должно (надеюсь, не спутаю), что два подпространства размерности $m$ и $n$ могут пересечением давать подпространство размерности от $\max \{|m - n|, N\}$ до $\min \{m, n\}$ включительно с обоих концов, так?

-- Пт дек 10, 2010 23:58:34 --

caxap в сообщении #385898 писал(а):

Mathusic, а в каком месте я напортачил тогда в рассуждения про СЛАУ?

Хоть я и не Mathusic, рискну предположить, что потому что строки получившейся матрицы могут быть линейно зависимы.

[Mathusic]

caxap в сообщении #385898 писал(а):

Mathusic, а в каком месте я напортачил тогда в рассуждения про СЛАУ?

Вы не напортачили, а просто, я бы сказал, неточно выразились (см. моё отредактированное сообщение).
Если вы упоминаете 5-ное пространство с той целью, что имеете в виду, что сумма плоскостей имеет размерность $5$, то ваши рассуждения верны.
В общем, хорошо описывает взаимное расположение подпространств в конечномерном случае формула Грассмана: $\dim(U+W)=\dim U+\dim W - \dim(U \cap W).$

-- Пт дек 10, 2010 22:01:17 --

arseniiv в сообщении #385901 писал(а):

Хоть я и не Mathusic, рискну предположить, что потому что строки получившейся матрицы могут быть линейно зависимы.

Да, это самое я и сказал, только более "геометрически" что ли.

[arseniiv]

Постойте, у вас в обоих местах плюсы, а пересечение куда ставить?
(А вам, случайно, не нравится больше симметричный вариант, где сумма и пересечение по одну сторону $=$ ?)

-- Сб дек 11, 2010 00:03:43 --

arseniiv в сообщении #385901 писал(а):

два подпространства размерности $m$ и $n$ могут пересечением давать подпространство размерности от $\max \{|m - n|, N\}$ до $\min \{m, n\}$ включительно с обоих концов

Случайно тут не напортачил?..

Хочу сказать Muninу спасибо за описание, как улучшить интуицию, а то мне тоже хочется хотя бы для четырёхмерья, интересно настроить сечений тессеракта.

[Mathusic]

arseniiv в сообщении #385905 писал(а):

Постойте, у вас в обоих местах плюсы, а пересечение куда ставить?

Да, спасибо, я уже сам заметил и отредактировал.

[Munin]

caxap в сообщении #385883 писал(а):

Проверьте, пожалуйста, я правильно мыслю? Вот, давайте рассмотрим 5-мерное пространство и пересечём там 3-плоскость с 2-плоскостью. 3-плоскость в 5-мерном пространстве записывается СЛАУ, в которой 3 переменные свободные, т. е. независимых уравнений $5-3=2$. Аналогично, 2-плоскость задаётся СЛАУ с 3 независимыми уравнениями. Для нахождения пересечения, объединим эти СЛАУ. Получим 5 уравнений и 5 неизвестных, т. е. пересечение либо точка, либо ничего. Так?

Проверьте себя сами: рассмотрите аналогичный случай, но в двумерном или трёхмерном пространстве. Mathusic правильно дополнил ваш ответ. Разумеется, даже оба базисных вектора 5-плоскости могут лежать в 3-плоскости, так что полная классификация возможных взаимных расположений плоскостей побогаче. Можете считать так: если у них есть общая точка, то в неё можно перенести начало координат, и СЛАУ становятся однородными, а они попроще. Будет одно подпространство, другое подпространство, и их пересечение - третье подпространство размерности меньше или равной, чем размерность каждого из подпространств.

caxap в сообщении #385883 писал(а):

Если пересечь две 2-плоскости в 5-мерном пространстве, то "объединённая" система будет содержать 6 независимых уравнений, а т. к. неизвестных 5, то решений у системы нет и две 2-плоскости не пересекаются. Так?

В общем случае так, но уравнения могут оказаться зависимыми, и тогда снова возникает ряд случаев - ступеньками по размерности общего подпространства.

Это всё ещё ничего, вот когда вы займётесь площадями и объёмами, или аналогами квадратичных кривых и поверхностей... впрочем, всё это тоже в линале рассмотрено, только не в начальных его главах. Площадям и объёмам посвящены внешние формы, квадрикам - квадратичные формы, вращениям в прострастве - ортогональные преобразования. Кстати, вращение в размерности $\geqslant 4$ в общем случае непериодическое :-)