Методы математической физики

[s.o.s.]

А коэффициент должен получиться $\[\frac{1}{w^2}\]$?
где w- скорость.

ewert в сообщении #383388 писал(а):

По определению. По определению новая (после смещения) координата точки -- это $y$ и, соответственно, расстояние между соседними точками -- это $dy$.

Вот смотрите, буду попорядку, чтобы разобраться:
в момент времени $t_0$ координаты точек x,
а в момент времени $t_1$ координаты точек стали $y(x)$
Это верно?

Himfizik в сообщении #382950 писал(а):

После слов выше мне добавить нечего по поводу механики...
Переходите к альтернативным способам получить уравнение (что там у нас, гидродинамика, э/м поле)

Ага, только ничего не придумывается.
Только вот по аналогии:
Дана труба с шариками, а пространство между ними заполнено водой.
Давление в n-ом объёме равно $\frac{P_{n-1}+P_{n+2}}{2}$.
Вот такой вот ужас
P.S. Формулу про давление мне интуиция подсказала.

[Himfizik]

Ну раз вы разобрались с механикой (по крайней мере с моим вариантом получения уравнения; кстати у ewerta усЁ корректно , даже корректнее чем у меня и без всяких переходов от дискретности к непрерывности) с гидродинамикой будет иначе...и наверное не так наглядно... Теперь разбираем движение жидкости...

Для начала вот что: нам понадобятся уравнения гидродинамики (в механике мы использовали по сути только закон Ньютона) - 1) уравнение непрерывности: $\delta \rho/\delta t + div(\rho \vec v) =0$ и так называемое 2)уравнение Эйлера: $\delta \vec v/\delta t + (v \nabla)\vec v=-\nabla p/\rho$. Их вывод это отдельный вопрос, если захотите можно позже разобрать...

Теперь выписав уравнения, зададимся целью искать стационарные решения, то есть облегчим себе жизнь, говоря -пусть: $p=const, \rho =const, \vec v=0$ (забыл сказать, хотя это и очевидно: $p$-давление, $\rho$ - плотность жидкости(невязкой), $\vec v$ - само собой скорость жидкости).

Тогда можете записать уравнения гидродинамики в облегченном варианте. Потом говорите волшебные слова : пусть давление и плотность слабо меняющиеся функции от координаты и времени: $p(\vec r,t)=p_0+p_1(\vec r,t)$ (и уравнение на плотность запишете аналогично), где $p_0$ - некая константа и $p_1<<p_0$ (аналогичные условия на $\rho$ тоже запишите сами).

Потом подставите эти конструкции с давлениями и плотностями в наши облегченные уравнения, решите совместно и будет вам счастье...

[Munin]

Поверхностные волны на воде рассмотрите :-)

[Himfizik]

Munin

Тоже вариант (вы намекаете на большую наглядность этого случая, наверное)...

[s.o.s.]

To Ewert:

в начальный мометн времени у нас координаты $x$,
в момент времени $t_1$ координаты стали $y(x,t_1)$.
Соответственно изменение расстояния $dy-dx$, по определению расстояния между двумя соседними точками.(ну то есть дифференциал это бесконечно маленькая часть прямой, собственно и есть расстояние между двумя соседними точками)
Правильно мыслю, ничего не пропустил?
Дальше то всё понятно..

Himfizik в сообщении #385296 писал(а):

Ну раз вы разобрались с механикой (по крайней мере с моим вариантом получения уравнения; кстати у ewerta усЁ корректно , даже корректнее чем у меня и без всяких переходов от дискретности к непрерывности) с гидродинамикой будет иначе...и наверное не так наглядно... Теперь разбираем движение жидкости... Для начала вот что: нам понадобятся уравнения гидродинамики (в механике мы использовали по сути только закон Ньютона) - 1) уравнение непрерывности: и так называемое 2)уравнение Эйлера: . Их вывод это отдельный вопрос, если захотите можно позже разобрать... Теперь выписав уравнения, зададимся целью искать стационарные решения, то есть облегчим себе жизнь, говоря -пусть: (забыл сказать, хотя это и очевидно: -давление, - плотность жидкости(невязкой), - само собой скорость жидкости).Тогда можете записать уравнения гидродинамики в облегченном варианте. Потом говорите волшебные слова : пусть давление и плотность слабо меняющиеся функции от координаты и времени: (и уравнение на плотность запишете аналогично), где - некая константа и (аналогичные условия на тоже запишите сами). Потом подставите эти конструкции с давлениями и плотностями в наши облегченные уравнения, решите совместно и будет вам счастье...

Ого, интересно...
А можно сначала вопрос, чем моя модель не подходит для вывода уравнения гидродинамики?

Munin в сообщении #385373 писал(а):

Поверхностные волны на воде рассмотрите

Ну они очень похожи на графики синуса или косинуса(или $e^ix$)...это ,наверное, и есть аналитическое решение волнового уравнения

To Himfizik:
У меня появилась идея,Я хочу попробывать численно решить волновое уравнение и построить графики различные.Мне кажется, так я получу наглядность, которая мне нужна для понимания.

[ewert]

s.o.s. в сообщении #385693 писал(а):

Правильно мыслю, ничего не пропустил?

Да.

[Munin]

Himfizik
Ага. Впрочем, несмотря на наглядность, случай не самый простой. Ещё, думаю, волны сжатия в газе, телеграфное уравнение в длинной электрической линии, да и теплопроводность с диффузией неплохо бы захватить.

[Munin]

s.o.s. в сообщении #385693 писал(а):

Ну они очень похожи на графики синуса или косинуса(или $e^{ix}$)...это ,наверное, и есть аналитическое решение волнового уравнения

Верно. На самом деле, в матфизике в основном встречаются три разных типа решений уравнений (буду говорить о волновых уравнениях, но те же типы имеют место и в других случаях):
1. Синусоиды и экспоненты. Эти решения отвечают задачам на собственные значения, например, для волнового уравнения: задан резонатор определённой длины, надо найти в нём колебания определённой частоты. Это будут стоячие волны в виде синусоид. Сюда же относятся всякие спецфункции: функции Бесселя, Ганкеля, Эрмита, Эйри, полиномы Лежандра, Лагерра, и т. п.
2. Бегущие волны произвольной формы. Эти решения отвечают задачам в бесконечном пространстве, с условием, что решение сохраняет форму, только сдвигаясь в пространстве. Такие решения отображают внутреннюю структуру дифференциального уравнения, отвлекаясь от всех граничных и начальных условий, например, в волновом уравнении - его характеристические линии (ххарактеристики) $x\pm vt=\mathrm{const}.$ Сюда же относятся волны, не сохраняющие свою форму, например, расплывающиеся из-за дисперсии или уменьшающиеся из-за диссипации.
3. Волны, расходящиеся от точечного начального условия, типа удара пальцем по струне в одном месте (дельта-функция $\delta(x-x_0)$). Эти решения используются для того, чтобы любое начальное условие сложной формы представить себе как сумму таких точечных составляющих. Такая волна часто называется функцией Грина. Сюда же относятся начальные условия в виде ступеньки, или какой-то ещё простой формы.
Все эти решения не независимы, а наоборот, каждое решение одного типа может быть представлено как суперпозиция решений другого типа. Но для разных постановок задач одни решения более естественны, чем другие.

[Himfizik]

s.o.s.

s.o.s. в сообщении #385693 писал(а):

А можно сначала вопрос, чем моя модель не подходит для вывода уравнения гидродинамики?

Не совсем понял, что вы имели ввиду... Скорее всего с шариками в жидкости так просто не получится, а вот с движением самой жидкости (или газа) попроще будет...

s.o.s. в сообщении #385693 писал(а):

У меня появилась идея,Я хочу попробывать численно решить волновое уравнение и построить графики различные.Мне кажется, так я получу наглядность, которая мне нужна для понимания.

Ну как говорится, флаг вам в руки, но тогда вам не ко мне, в том смысле, что мне проще беседовать над "аналитическими путешествиями" физических величин...

А вообще, попробуйте осуществить намеченную мною выше схему, заодно потренируетесь в часто используемых в методах мат. физики операциях, набьете руку, так сказать... Кстати, уравнение, полученное таким образом, в контексте гидродинамики называется уравнением акустики (по сути тоже самое волновое уравнение)... Munin уже наметил для вас другие, но тоже интересные способы получения этого уравнения...

Munin

Да, здесь много можно захватить, полагаясь на общность этого уравнения... Можно до кучи еще привести короткий вывод этого уравнения из уравнений Максвелла... (в ущерб наглядности наверное)

[s.o.s.]

Munin в сообщении #385751 писал(а):

Верно. На самом деле, в матфизике в основном встречаются три разных типа решений уравнений (буду говорить о волновых уравнениях, но те же типы имеют место и в других случаях):1. Синусоиды и экспоненты. Эти решения отвечают задачам на собственные значения, например, для волнового уравнения: задан резонатор определённой длины, надо найти в нём колебания определённой частоты. Это будут стоячие волны в виде синусоид. Сюда же относятся всякие спецфункции: функции Бесселя, Ганкеля, Эрмита, Эйри, полиномы Лежандра, Лагерра, и т. п.2. Бегущие волны произвольной формы. Эти решения отвечают задачам в бесконечном пространстве, с условием, что решение сохраняет форму, только сдвигаясь в пространстве. Такие решения отображают внутреннюю структуру дифференциального уравнения, отвлекаясь от всех граничных и начальных условий, например, в волновом уравнении - его характеристические линии (ххарактеристики) Сюда же относятся волны, не сохраняющие свою форму, например, расплывающиеся из-за дисперсии или уменьшающиеся из-за диссипации.3. Волны, расходящиеся от точечного начального условия, типа удара пальцем по струне в одном месте (дельта-функция ). Эти решения используются для того, чтобы любое начальное условие сложной формы представить себе как сумму таких точечных составляющих. Такая волна часто называется функцией Грина. Сюда же относятся начальные условия в виде ступеньки, или какой-то ещё простой формы.Все эти решения не независимы, а наоборот, каждое решение одного типа может быть представлено как суперпозиция решений другого типа. Но для разных постановок задач одни решения более естественны, чем другие.

Дельта-функция - это функция Дирака, которая в точке равна бесконечности, но при этом интеграл равен единице?Почему она не признана математиками?И как такое вообще может быть?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #386448 писал(а):

Почему она не признана математиками?И как такое вообще может быть?

1). Такого вообще быть не может.
2). Тем не менее -- математиками она вполне признана. Она относится к разряду "обобщённых функций".
3). Наиболее естественная увязка физических и формально-математических представлений о дельта-функции -- это её интерпретация как предела "дельтообразной последовательности". Т.е. такой последовательности функций-колокольчиков, основания которых стремятся к нулю, высоты -- к бесконечности, а интеграл так постоянно и остаётся единичным.

[Munin]

ewert в сообщении #386459 писал(а):

Она относится к разряду "обобщённых функций".

Мне очень нравится термин "обобщённые функции", но к сожалению, он используется только по-русски, а по-английски это будет distributions (что верно по смыслу), и даже в русском языке всё чаще говорят не "обобщённые функции", а "распределения". Следует иметь в виду, если будете гуглить тему в интернете.

[s.o.s.]

Himfizik в сообщении #385296 писал(а):

Для начала вот что: нам понадобятся уравнения гидродинамики (в механике мы использовали по сути только закон Ньютона) - 1) уравнение непрерывности: и так называемое 2)уравнение Эйлера: . Их вывод это отдельный вопрос, если захотите можно позже разобрать... Теперь выписав уравнения, зададимся целью искать стационарные решения, то есть облегчим себе жизнь, говоря -пусть: (забыл сказать, хотя это и очевидно: -давление, - плотность жидкости(невязкой), - само собой скорость жидкости).

Честно, ни с одним из этих уравнений раньше не сталкивался. Ну может, конечно, видел их где-то и даже писал, но видимо прошли мимо сознания.Но вот в первом узнаю "закон сохранения энергии в дифференциальной форме", который мне предложил Alex-Yu в задче о распространении тепла.Переносим правую часть в левую и у нас из закона получается уравнение!
Вот только я не понимаю, если давление и плотность равны константе, то получается:
$div(\rho \veс u)=0$
облегчённый вариант такой,
но если у нас и скорость равна нулю, то здесь вообще нуль равно нулю получается, как так?
Только не надо вместе с ответом на этот вопрос, оставшуюся часть решения писать, как было в тот раз

To Ewert:
Спасибо, конечно, что отвечате.У меня такой вопрос, вот вы говорите, что дивергенция - это диффернциальный оператор, значение которого инвариантно относительно преобразований координат.А чем хорошо такое определение дивергнции для физики?
Допусти, мы говорим, нам нужно создать диф.опертор на векторном поле, значения которого инвариантны ..... и назовём это дивергенцией!А зачем нам нужно было создать это?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #386771 писал(а):

А чем хорошо такое определение дивергнции для физики?

Тем, что в физике как таковой координат нет вообще -- они туда привносятся искусственно. Поэтому неинвариантные дифференциальные операции -- в т.ч. и физически нехороши.

s.o.s. в сообщении #386771 писал(а):

А зачем нам нужно было создать это?

Ну даже и не знаю, что и ответить. Зачем вообще в физике дифференцирование, да?...

[s.o.s.]

ewert в сообщении #386794 писал(а):

Ну даже и не знаю, что и ответить. Зачем вообще в физике дифференцирование, да?...

Ньютон придумал дифференцирование исохдя из своих потребностей в мгновенной скорости, ускорении и т.д. И вообще оно служит для исследования изменения какой-то величины. А если мы просто определим её математически, то она для физики впринципе бесполезна, я считаю.