В общем, итог: проблема Брокарда разрешима только тогда, когда существует параметризация:

выполнимая для любых

.
И при этом для некоторого фиксированного значения(ий)

выражение слева принимает значение точного факториала:

Очевидно, т.к. тождество выполняется для любых

, то искомый факториал должен представлять собой произведение

последовательных чисел, не начинающихся с

. Или по сути
и при этом

не является дополнением

до следующего факториала

, т.е. исключаются тривиальные случаи.
Т.е. только факториалы вида

,

могут являться решениями проблемы Брокарда.