Римановы вложения

[Утундрий]

Собственно, нашел (http://elibrary.ru/item.asp?id=281961) решение занимавшей меня задачи. Попутно обогатился новой фамилией Fronsdal и еще раз убедился, что все интересное было сделано еще в 1959-м году

Вложение строится совсем несложно: $\[{\mathbf{r}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {f\operatorname{sh} \omega t,} & {f\operatorname{ch} \omega t,} & {h,} & {rc_\theta ,} & {rs_\theta c_\varphi ,} & {rs_\theta s_\varphi } \\ \end{array} } \right\}\] $, где $f$ и $h$ - функции от $r$, $\omega$ - константа, а сигнатура объемлющего плоского пространства суть $\[\left( {\begin{array}{*{20}c} + & - & - & - & - & - \\ \end{array} } \right)\]$. Индуцированная метрика есть $\[ds^2 = \omega ^2 f^2 dt^2 - \left( {1 + f'^2 + h'^2 } \right)dr^2 - r^2 \left( {d\theta ^2 + s_\theta ^2 d\varphi ^2 } \right)\]$. Возжелав получить м.Ш, придется обеспечить $\[\omega ^2 f^2 = 1 - \frac{{2m}}{r}\]$ и $\[h'^2 = \frac{{2m}}{r}\frac{{1 - \frac{1}{{\left( {4m\omega } \right)^2 }}\left( {\frac{{2m}}{r}} \right)^3 }}{{1 - \frac{{2m}}{r}}}\]$. Последнему слагаемому живется лучше всего при $\[\omega = \frac{1}{{4m}}\]$, что и положим. Тогда $\[h'^2 = \frac{{2m}}{r}\left[ {1 + \frac{{2m}} {r} + \left( {\frac{{2m}}{r}} \right)^2 } \right]\]$. Далее пишем $\[y_0^2 - y_1^2 = - f^2 = \left( {4m} \right)^2 \left( {\frac{{2m}}{r} - 1} \right)\]$, что дает $r$ как функцию одних только $y_0$ и $y_1$. Вот, в общих чертах, и все...

Даже наглядненько вышло. Три последние координаты содержат 2-сферу, радиус которой - функция первых двух. Поверхность сигнатуры $(1,1)$, вложенная в первые три координаты, тоже не шибко сложно устроена - она задана явной зависимостью $y_2$ от $y_0$ и $y_1$. (Кстати, неплохо бы ее тут нарисовать покрасивше. Кто возьмется? Выглядит она как эдакие гиперболические "штаны".)

[Munin]

Я так понимаю, результат ещё сырой, потому что функции явно не найдены. Можете как-нибудь качественно нарисовать их графики?

[Утундрий]

Munin в сообщении #382139 писал(а):

Можете как-нибудь качественно нарисовать их графики?

Могу и количественно:
$\[ {\mathbf{r}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {y_0 } & {y_1 } & {h\left( {y_0 ,y_1 } \right)} & {r\left( {y_0 ,y_1 } \right)\cos \theta } & {r\left( {y_0 ,y_1 } \right)\sin \theta \cos \varphi } & {r\left( {y_0 ,y_1 } \right)\sin \theta \sin \varphi } \\ \end{array} } \right\} \] $

$r$ определено выше, для $h$ там же записано д.у. График $h(r)$ качественно подобен логарифму.

В сущности, по первой тройке это почти координаты Крускала, приподнятые вдоль $y_3$ на высоту $h$.

[Munin]

Утундрий в сообщении #382150 писал(а):

График $h(r)$ качественно подобен логарифму.

То есть при приближении к сингулярности уезжает в бесконечность?

[Утундрий]

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{h(x)}}{{\sqrt x }} = 2\]$, $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x)\sqrt x = - 2\]$

[Munin]

Отпустите сестру вашу, краткость, погулять немного в одиночестве. Что это за пределы? Я так понимал, $r$ - шварцшильдова координата, и длина кривой ведёт себя как

$$\int\limits_0^{r_1}\sqrt{1+h'(r)^2\,}\,dr=\infty.$$

[Утундрий]

Была координата, да вся вышла. Теперь это просто функция окончательного набора криволинейных координат, в коий входят:
Раз) $y_0$
Двас) $y_1$
Трис) $\theta$
Четырес) $\varphi$

А пределы... Ну вот функция у нас $h(x)$, а у ней пределы... Вопрошали насичёт хвостов ейных, вот и ответствование.

И встречный вопрос: длина какой кривой ведет себя "так"?

[Munin]

Утундрий в сообщении #382652 писал(а):

Была координата, да вся вышла. Теперь это просто функция окончательного набора криволинейных координат

Я это понял. Но интеграл-то по ней можно взять, если $h$ - функция от $r$?

Утундрий в сообщении #382652 писал(а):

И встречный вопрос: длина какой кривой ведет себя "так"?

Меня смущает, что в Шварцшильде расстояние до сингулярности конечно (и времениподобно), а тут чего-то так не получается. Или я ещё недопонимаю этих "штанов", и рисунок с вашей стороны был бы полезен?

[Утундрий]

Как-то так:



Разрыв - это горизонт, время вверх, $y_2$ - на наблюдателя.

Пардоньте за рваные края, чего-то я еще в этой малевалке недопонимаю.

Была у меня надежда, что сингулярность как-то закруглится, а она, гадина, наоборот на световой конус налипла.

[paha]

Вы можете по-простому сказать что за риманово надо изометрично вложить и куда?

Типа, поставить задачу для математика?

[Munin]

paha
Есть четырёхмерное псевдориманово пространство сигнатуры $(+---)$ с метрикой

$$ds^2=\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2-\frac{dr^2}{1-2GM/r}-r^2(\sin^2\theta\,d\varphi^2+d\theta^2),$$

где $t\in\mathbb{R},$ $r\in(0,\infty)\setminus\{2GM\},$ $\varphi\in[0,2\pi)$ и склеено в $S^1,$ $\theta\in[0,\pi],$ $2GM$ - положительная константа. Это пространство общеизвестно в физике как решение Шварцшильда уравнения Эйнштейна для гравитационного поля в пустом пространстве (то есть без источников, однородного, в однородном случае оно также может называться уравнением Гильберта или Эйнштейна-Гильберта). Известны "сшивки" этого решения, склеивающие листы $r<2GM$ и $r>2GM,$ которые называются "чёрная дыра" (Шварцшильда) и "белая дыра". Интересует рассмотрение этого пространства в области малых $r,$ которая на физическом жаргоне называется "сингулярность ОТО" (Шварцшильда).

Вложить, я так понимаю, надо в псевдоевклидово пространство сигнатуры $(m+,n-).$

[paha]

(Оффтоп)

я отвечу... днем -- будетъ день, будетъ и хлебъ))

[Munin]

(Оффтоп)

Мне удалось "задачу поставить", или я это с треском провалил?

[Утундрий]

paha
Так ведь как-бы решение уже озвучено. Естественно, оно лишь одно из, но поелику сия модель в точности реализует искомое многообразие, то любые сделанные на ее основе выводы неизбежно будут иметь прямое касательство к.

[Munin]

Утундрий
Ну так чего там с расстоянием до сингулярности, вопрос мне проясните?