Глубокоуважаемая shwedka!
Спасибо Вам за Ваш великолепный комментарий, в котором Вы попытались разобраться в природе этого замечательного, но полузабытого, уравнения, которому в современных учебниках почему-то очень мало уделяют внимания или вообще не уделяют. Однако Вы поставили так много вопросов, что придется рассматривать их по очереди. По поводу уравнения
Ну, вот и замечательно.
Против формулы (9) ничего, естественно, не имею, хотя можно было бы Вас помучать с требованием указать, что обозначают величины в ней, всякие там
.
А я все же предлагаю, давайте немного разберемся с природой уравнения. Это все-таки фундамент. К тому же оно еще нам может понадобиться по другим вопросам. Есть эта формула и в дифференциальной геометрии, и векторном анализе, и в высшей математике и много еще где. Но только ее вывод в учебниках не всегда достаточно прозрачный. Поэтому я для нашего общего взаимопонимания постарался скомпоновать совершенно элементарный вывод, на мой взгляд, подчеркивающий природу уравнения. По ходу моих рассуждений, надеюсь, немного прояснятся неосвещаемые в учебниках детали и отпадут некоторые Ваши вопросы.
С понятием производной все, вероятно, усвоили, что это по сути дела есть скорость чего-то. В нашем случае - это скорость перемещения материальной точки с координатами
![$\[
x,y,z
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/c/9dc1a4ec5b2e959ec1bba9bd8fb4d31b82.png "$\[
x,y,z
\]$")
. А если мы интересуемся направлением, то это скорость изменения координат материальной точки
в соответствующем направлении, т.е. соответственно
![$\[
\dot u_x ,_{} \dot u_y ,_{} \dot u_z
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/4/b7413d337a6924ec2008830a48d56c3c82.png "$\[
\dot u_x ,_{} \dot u_y ,_{} \dot u_z
\]$")
. Поэтому
![$ \[
\frac{{dx}}
{{dt}} = \dot u_x ,_{} \frac{{dy}}
{{dt}} = \dot u_y ,_{} \frac{{dz}}
{{dt}} = \dot u_z
\] (1) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/c/bac2fe545a0388bf3f4b94cb42baac6d82.png "$ \[
\frac{{dx}}
{{dt}} = \dot u_x ,_{} \frac{{dy}}
{{dt}} = \dot u_y ,_{} \frac{{dz}}
{{dt}} = \dot u_z
\] (1) $")
Разумеется, эти известные нам соотношения мы можем записать и в таком виде
![$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = dt,_{} \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = dt,_{} \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\] (2) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/1/95124a778db1ae910780f64908d3e45982.png "$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = dt,_{} \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = dt,_{} \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\] (2) $")
И конечно же мы можем теперь записать их в виде одного выражения
![$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\] (3) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1f23c645f87b372010790e39614dd9f82.png "$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\] (3) $")
Как видите, получилась полная аналогия формулы (9) и даже символы слева одни и те же, поскольку обозначают, как и в формуле (9), пространственные координаты и скорости в тех же направлениях.
Поскольку каждая материальная точка имеет свою индивидуальную скорость и перемещается по отношению к фиксированной точке пространства, то для отражения этой особенности иногда пишут
![$\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z,t),_{} (i = x,y,z)
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/7/057d0ad12f2a47a1d3bb1b384bf77a3b82.png "$\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z,t),_{} (i = x,y,z)
\]$")
, но имеют в виду
![$\[
\dot u_i = \dot u_i (x(t),y(t),z(t),t),_{} (i = x,y,z)
\] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/5/ac5971469320151b3945d8dfed0c05c582.png "$\[
\dot u_i = \dot u_i (x(t),y(t),z(t),t),_{} (i = x,y,z)
\] $")
. Это означает, что координаты материальных точек, находящихся в фиксированных неподвижных точках пространства в отличие от них подвижны. Это иногда вносит путаницу. Но ничего не поделаешь. Традиции менять сложно и, знаю по себе, небезопасно.
Если мы фиксируем свое внимание на неподвижные (фиксированные) точки пространства, то имеем в виду первую форму записи, хотя выражение в скобках, как правило, опускаем. Если же фиксируем внимание на подвижные материальные точки, то имеем в виду вторую форму записи, хотя и пишем первую, но обычно выражение в скобках тоже опускаем с оговоркой или даже без нее. Формула (3) получила название – уравнение траекторий.
Поскольку мы ведем речь о величинах скоростей одной и той же материальной точки в направлениях ориентации координатных осей, то само собой разумеется, что эти величины являются компонентами вектора скорости этой точки. Поэтому, имеются все основания записать уравнения (1) - (3) в векторной форме (
![$\[
\vec r
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/d/e1d222b6ef724e7ae63f9ccb9fd108e982.png "$\[
\vec r
\]$")
-радиус-вектор,
![$\[
\dot \vec u
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/5/ed522466fa716f53ada0468690df8afb82.png "$\[
\dot \vec u
\]$")
-вектор скорости)
![$\[
\frac{{d\vec r}}
{{dt}} = \dot \vec u \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = dt
\] (4) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/d/d8dc774bab61af8eebdc4b5e96d2fb9682.png "$\[
\frac{{d\vec r}}
{{dt}} = \dot \vec u \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = dt
\] (4) $")
Из первой записи следует , что
![$\[
d\vec r
\] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/3/9a33ebe532eec58027e8630121ee7d8b82.png "$\[
d\vec r
\] $")
и
коллинеарные векторы. Поэтому деление векторов правомерно. Если зафиксировать время, то можно ввести аналогичные коллинеарные векторы, а также скалярный параметр
![$\[
d\varsigma
\] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d87b1aab1a5526aeb19cd2cb530738082.png "$\[
d\varsigma
\] $")
с размерностью времени и записать
![$\[
d\vec r = \dot \vec ud\varsigma \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = d\varsigma
\] (5) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/c/b1c58335b1b25591cf626459f7b0cccc82.png "$\[
d\vec r = \dot \vec ud\varsigma \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = d\varsigma
\] (5) $")
По внешнему виду эти уравнения не отличаются от уравнения траекторий. Однако, следует иметь в виду, что время
![$ \[
t = \bar t
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/4/ff4da8d38f40c9513f0fac8ae34a853f82.png "$ \[
t = \bar t
\]$")
в эти соотношения тоже входит, но как параметр.Поэтому, чтобы подчеркнуть необходимость не отождествлять дифференциалы координат, в уравнении (5) их иногда обозначают в виде
![$\[
\delta x,_{} \delta y,_{} \delta z
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd665b852d58d027feb46e54b368d1882.png "$\[
\delta x,_{} \delta y,_{} \delta z
\]$")
.
В скалярной форме теперь можем записать нашу формулу с номером (9) в статье
![$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma
\] (6) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/0159fcd113ba3b25190324d9d236b3a082.png "$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma
\] (6) $")
На мой взгляд, вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком сверхточном доказательстве. И вот почему. Если время не фиксировано, то и координаты материальной точки, и вектор скорости, как видите, могут быть представлены функциями только одной переменной – времени. В случае фиксированного времени вводится его аналог с такой же размерностью, в результате чего форма дифференциальных уравнений (3) и (6) остается одинаковой. Поэтому напрашивается вывод, что этот аналог, как и время в формуле (3), является той единственной переменной, через которую могут быть выражены пространственные координаты и скорость. Точное доказательство этого предположения для профессионального математика, вероятно, не вызовет особых затруднений.
Или, быть может, я заблуждаюсь и что-то не учитываю?
С уважением, Александр Козачок
![$\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/3/b93ad39ca07bdcdb6ce29ad0add8e1ae82.png "$\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]$")
be a composite function. Let's fix a time ![$\[
t = \bar t
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfd675cc651edfd39f651a22b3f678e982.png "$\[
t = \bar t
\]$")
. Suppose the velocity vector ![$\[
\varsigma = \varsigma (x,y,z)
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/e/ade515d9272b672e02596e08ab3ac1be82.png "$\[
\varsigma = \varsigma (x,y,z)
\]$")
as ![$\[
\dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma )
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a4904837db32025883a741978158fc382.png "$\[
\dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma )
\]$")
We take into account that basic properties of the derivatives are maintained for the vectors [6, p. 79 ![$ \[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361ee62beaebb6846db029711156084082.png "$ \[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )
\]$")
Such proof can be obtained from the vector lines equations (streamlines) [7, p. 318 ![$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/f/bbfa61cf80e4db6c035a20331fad657882.png "$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma
\]$")
(9)![$\[
d
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/6/8d66e5a0e54f8a364a3a663243f2ce5682.png "$\[
d
\]$")
used to present differentials for fix ![$ \[
t = \bar t
\] $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/0/d608062a29657e92e6d51633aaa0cf9182.png "$ \[
t = \bar t
\] $")
![$\[
\begin{gathered}
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z,\bar t), \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z,\bar t), \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z,\bar t). \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/8/508b2fc74255ebb52ef4bf23460d1ca682.png "$\[
\begin{gathered}
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z,\bar t), \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z,\bar t), \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z,\bar t). \hfill \\
\end{gathered}
\]$")
![$\[
\varsigma = F_i (x,y,z,\bar t)
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/d/42d66413adefaaca36485ff11365b94f82.png "$\[
\varsigma = F_i (x,y,z,\bar t)
\]$")
can be consider as algebraic system of equations with three unknown ![$ \[
x,y,z
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5de6569517d9b8ccd151e0eed5cb5d3682.png "$ \[
x,y,z
\]$")
As a result we will obtain ![$ \[
x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t)
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/2/722136e6bf285e4557503f14c130e5c382.png "$ \[
x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t)
\]$")
After substitution of these expressions into ![$ \[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,\bar t)
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/6/766a62dd0416d4cf118a800bb8682b8e82.png "$ \[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,\bar t)
\]$")
we will obtain ![$\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma ,\bar t)
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/b/c9b51e9f0ab91c30fb2bd83c72879a8382.png "$\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma ,\bar t)
\]$")
. Therefore, for ![$ \[ x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t) \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f0579d1f3888e1db267a7ffc0bcaf5e82.png "$ \[ x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t) \]$")
зафиксирована, ее можно и игнорировать (здесь по крайней мере.)
от одного параметра 
. Когда этот параметр меняется, точка с координатами 
зависит ТОЛЬКО от 
, и в двух точках оказывается, что 
, то должно быть 
(я не пишу Ваших точек и стрелочек)![$\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/b/2eb46b75d220f65f2827ddebd10b2fa982.png "$\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$")
, что для 
в некоторой области пространства выполнено ![$ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/c/36c9aeee3f5eae4e974f1accb735a83582.png "$ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$")
![$\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma '_i )
\] $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/7/2d73df764b8838743eed3faf4389790a82.png "$\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma '_i )
\] $")
с записью ![$\[
\varsigma '_i
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/2/fb21081a6c06b1bfe5c2ecbf93adda6a82.png "$\[
\varsigma '_i
\]$")
означает частные производные скалярной функции по пространственным координатам.![$\[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma '_i ) \] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/2/8024c8e9f2e02cb005d151bc34ee367e82.png "$\[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma '_i ) \] $")
с записью ![$ \[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma ) \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/f/15f2062e0443cd48bc91db1c4128a36382.png "$ \[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma ) \]$")
. Здесь ![$\[ \varsigma '_i \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/1/561df263f63052a2c74463a457cb37fd82.png "$\[ \varsigma '_i \]$")
означает частные производные скалярной функции по пространственным координатам.
[![$\[ \dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t) \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/c/7ece81c3a5d1ba9b4ee4cfb87b53de2c82.png "$\[ \dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t) \]$")
can be represented by one auxiliary variable ![$\[ \dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma ) \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7de7ab032b1fa0e9745dd16c712ab8082.png "$\[ \dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma ) \]$")
с этой формулировкой проходит. 2. доказываете утверждение о представлении в этой формулировке или даете ссылку на источник, где оно доказано.![$\[
\begin{gathered}
\frac{{dx}}
{{d\varsigma }} = \dot u_x (x,y,z) \hfill \\
\frac{{dy}}
{{d\varsigma }} = \dot u_y (x,y,z) \hfill \\
\frac{{dz}}
{{d\varsigma }} = \dot u_z (x,y,z) \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/2/5421aae6783213fc067a708f7b1ffd3682.png "$\[
\begin{gathered}
\frac{{dx}}
{{d\varsigma }} = \dot u_x (x,y,z) \hfill \\
\frac{{dy}}
{{d\varsigma }} = \dot u_y (x,y,z) \hfill \\
\frac{{dz}}
{{d\varsigma }} = \dot u_z (x,y,z) \hfill \\
\end{gathered}
\]$")
![$ \[
x = x(\varsigma ),_{} y = y(\varsigma ),_{} z = z(\varsigma )
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/0/2a02d10d3ce1f8e703834e334c85e46182.png "$ \[
x = x(\varsigma ),_{} y = y(\varsigma ),_{} z = z(\varsigma )
\]$")
[
![$\[
\varsigma
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/d/3cde0428a121a53b58788a851ff5aaca82.png "$\[
\varsigma
\]$")
в виде интегралов имеет важное преимущество. Обратите внимание, что приравнивая попарно эти интегралы ![$\[
\begin{gathered}
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/b/adb5df53a0d4a7c0cbcb0d9f972986f482.png "$\[
\begin{gathered}
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y \hfill \\
\varsigma = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z \hfill \\
\end{gathered}
\]$")
![$\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z)
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/b/d6b2406bb1bb398cbd6fb4bd64b796d582.png "$\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z)
\]$")
позволяют обеспечить такие равенства. Таким образом, казавшееся сомнительным, утверждение Лойцянского