2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение29.11.2010, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция

(Оффтоп)

Александр Козачок в сообщении #381600 писал(а):
следует понимать так: сумма первых производных (по соответствующим координатам) трех любых функций образует скалярное поле. Согласны?
Смотря что Вы понимаете под скалярным полем. Дайте определение сначала.
Александр Козачок в сообщении #381600 писал(а):
В таком случае прошу Вас, пожалуйста, укажите на ошибки в статье http://continuum-paradoxes.narod.ru/vorticity.pdf , которую Вы, судя по Вашему высказыванию, успели прочитать. Вы начнете - а там и другие Участники подключатся к обсуждению.

Для этой темы - оффтоп. Если хотите обсуждать, открывайте новую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
А вот еще любитель НС решать.
http://www.university.kg/index.php?option=com_content&view=article&id=873%3A-q-q&catid=1%3Alatest-news&Itemid=50&lang=ru
http://vesti.kg/index.php?option=com_k2&view=item&id=1339:nash-matematik-reshil-zadachu-tyisyacheletiya&Itemid=88
Он, правда, утверждает глобальную разрешимость. Так что совсем не так, как Jormakka.

Кому интересно, могут почитать. Сильно наукообразный текст, сразу не раскусишь. Вроде, даже ошибки нет. Кто не разберется сам: ключ к правильному пониманию происходящего на

(Оффтоп)

17
странице.

Заодно про текст про НС, который представил Александр Козачок.
Ошибка на

(Оффтоп)

5
странице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 10:06 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka в сообщении #381615 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #381600 писал(а):
следует понимать так: сумма первых производных (по соответствующим координатам) трех любых функций образует скалярное поле. Согласны?
Смотря что Вы понимаете под скалярным полем. Дайте определение сначала.
В смысле понимания я Вам ничего нового не скажу. В нашем случае (и только в нашем!) утверждение «сумма первых производных (по соответствующим координатам) трех любых функций образует скалярное поле» означает, что эта сумма (нуль) и форма ее записи не зависят от ориентации прямоугольной системы координат.
Цитата:
Александр Козачок в сообщении #381600 писал(а):
В таком случае прошу Вас, пожалуйста, укажите на ошибки в статье http://continuum-paradoxes.narod.ru/vorticity.pdf
Для этой темы - оффтоп. Если хотите обсуждать, открывайте новую тему
Ну почему же оффтоп? По названию соответствует. По сущности тоже соответствует, поскольку обсуждается одна и та же проблема. Сначала обсуждали одно, ошибочное, решение. Теперь через четыре года обсуждаем второе, пока сомнительное, но некоторые считают тоже ошибочное, решение. Давайте приступим к обсуждению третьего. А вот, Вы обнаружили еще и четвертое http://www.university.kg/index.php?opti ... 50&lang=ru
Зачем плодить новые темы. По этому поводу мне уже не одно замечание делали. А если и открывать тему, то по логике уж лучше эту: topic12373.html
Если принимаете первое предложение, то давайте сразу и продолжим
Цитата:
Заодно про текст про НС, который представил Александр Козачок.
Ошибка на 5 странице.
Укажите, пожалуйста, конкретно.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 11:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
Александр Козачок в сообщении #381980 писал(а):
В нашем случае (и только в нашем!) утверждение «сумма первых производных (по соответствующим координатам) трех любых функций образует скалярное поле» означает, что эта сумма (нуль) и форма ее записи не зависят от ориентации прямоугольной системы координат.

Если эти три функции преобразовывать при переходе к другой системе по тем же правилам, как преобразуются скорости, то да.
Александр Козачок в сообщении #381980 писал(а):
Если принимаете первое предложение, то давайте сразу и продолжим
Цитата:
Заодно про текст про НС, который представил Александр Козачок.
Ошибка на 5 странице.
Укажите, пожалуйста, конкретно.

Ну, Вы сами просили. Не жалуйтесь потом.

Для начала, в соответствии с правилами форума поместите обсуждаемый фрагмент текста на форуме. Пусть всем желающим видно будет. И для возможности делать ссылки.
Речь идетм о первых 5 строчках п. 2.1 на стр. 4, а потом 'доказательство' на стр. 5, начиная с текста после формулы (8)
Now we must to prove the representation possibility и вплоть до Therefore... внизу страницы. Лично я ничего не имею против английского, это даже удобнее, но начальство, видимо, потребует текста по-русски.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 13:19 
Модератор


16/01/07
1548
Северодвинск
shwedka в сообщении #381990 писал(а):
Лично я ничего не имею против английского, это даже удобнее, но начальство, видимо, потребует текста по-русски.

Рабочие языки форума - русский и английский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 18:00 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka в сообщении #381990 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #381980 писал(а):
В нашем случае (и только в нашем!) утверждение «сумма первых производных (по соответствующим координатам) трех любых функций образует скалярное поле» означает, что эта сумма (нуль) и форма ее записи не зависят от ориентации прямоугольной системы координат.

Если эти три функции преобразовывать при переходе к другой системе по тем же правилам, как преобразуются скорости, то да.
Итак, для новых читателей отметим, что выделенное крупным шрифтом - это только Ваше утверждение
Цитата:
Для начала, в соответствии с правилами форума поместите обсуждаемый фрагмент... Речь идетм о первых 5 строчках п. 2.1 на стр. 4, а потом 'доказательство' на стр. 5, начиная с текста после формулы (8)
Now we must to prove the representation possibility и вплоть до Therefore... внизу страницы.

To prove expressions (3*) and (5**) we use partial derivatives of a composite function, which can be given any number of auxiliary variables [8, p. 644 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 977ru.djvu ]. Let $\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]$ be a composite function. Let's fix a time $\[
t = \bar t
\]$ . Suppose the velocity vector $\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]$ can be represented by one auxiliary variable $\[
\varsigma  = \varsigma (x,y,z)
\]$ as $\[
\dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma )
\]$ We take into account that basic properties of the derivatives are maintained for the vectors [6, p. 79 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 965ru.djvu
; 8, p. 516 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 977ru.djvu ].
……………………..Вырезанное содержимое см. в статье http://continuum-paradoxes.narod.ru/vorticity.pdf ........................................................................
Now we must to prove the representation possibility $ \[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma )
\]$ Such proof can be obtained from the vector lines equations (streamlines) [7, p. 318 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 974ru.djvu
; 9, p. 155 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 966ru.djvu ]

$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma 
\]$ (9)

Here the symbols $\[
d
\]$ used to present differentials for fix $ \[
t = \bar t
\] $
Equations (9) can now be written in the form of integrals

$\[
\begin{gathered}
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x  \Rightarrow \varsigma  = F_x (x,y,z,\bar t), \hfill \\
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y  \Rightarrow \varsigma  = F_y (x,y,z,\bar t), \hfill \\
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z  \Rightarrow \varsigma  = F_z (x,y,z,\bar t). \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

Three equivalent expressions $\[
\varsigma  = F_i (x,y,z,\bar t)
\]$ can be consider as algebraic system of equations with three unknown $\[
x,y,z
\]$ . Note that $ \[
t = \bar t
\]$ is a parameter. This system can be solved for $ \[
x,y,z
\]$ As a result we will obtain $ \[
x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t)
\]$ After substitution of these expressions into $  \[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,\bar t)
\]$ we will obtain $\[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma ,\bar t)
\]$. Therefore, for $\[
t = \bar t
\]$ we actually have $ \[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma )
\]$.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение30.11.2010, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
Ну, вот и замечательно.

Против формулы (9) ничего, естественно, не имею, хотя можно было бы Вас помучать с требованием указать, что обозначают величины в ней, всякие там $dx$.

С интегрированием в следующей формуле дело похуже. Чтобы обсуждение было предметным, пожалуйста, напишите эти интегралы поподробнее, выписав все переменные, поскольку для функций нескольких переменных нет канонического способа такие интегралы понимать. Но об этом мы поговорим, когда Вы обозначения уточните.

А сейчас обсудим Ваши формулы
Александр Козачок в сообщении #382081 писал(а):
$ \[ x = x(\varsigma ,\bar t),_{} y = y(\varsigma ,\bar t),_{} z = z(\varsigma ,\bar t) \]$

Хорошие формулы. Я и спорить с ними не буду. Просто внимательно прочитаю. Учтем при этом, что переменная $t$ зафиксирована, ее можно и игнорировать (здесь по крайней мере.)
Что же эти формулы описывают. Зависимость переменных $x,y,z$ от одного параметра $\varsigma$. Когда этот параметр меняется, точка с координатами $x,y,z$ описывает что?? Правильно, кривую. Можно даже открыть секрет, какую -- именно ту самую линию тока, которая задана уравнениями (9). Но это так, между прочим. Важно, что именно кривую. И выражение компонент скорости через $\varsigma$ вы тем самым получили ТОЛЬКО в точках этой кривой. Маловато будет. А как же получить это выражение для других точек, которые на этой кривой не лежат? Правильно, провести другие линии тока, с тем же уравнением (9), но другими начальными условиями, чтобы они заполнили какую-то область, тогда на каждой линии тока Вы по Вашему рецепту получите СВОЮ (не Вашу свою, а свою для этой линии тока) переменную $\varsigma$ и СВОЕ (опять же свое для линии тока) выражение скоростей через эту $\varsigma$. Вопрос состоит в том, можете ли Вы доказать, что выражения скоростей через $\varsigma$ ОДНИ И ТЕ ЖЕ для разных линий тока? Я по крайней мере доказательства этого у Вас не углядела.
А как можно было бы доказывать? Что же означает на простом языке, что функция $u$ зависит ТОЛЬКО от $\varsigma$, а не от всех остальных переменных в совокупности. А вот что. Если у нас есть две точки пространства, где $\varsigma$ принимает одинаковые значения, то что можно сказать о скоростях? Ну, думаем вместе. Думаем...думаем... Правильно!! Вот как хорошо у нас вместе получаетсся! Если скорость зависит только от $\varsigma$, а $\varsigma$ в двух точках пространства одна и та же, то и скорости в таких точках должны быть одинаковы. То же самое на формулах. Если $u=u(\varsigma(x,y,z))$, и в двух точках оказывается, что
$\varsigma(x_1,y_1,z_1)=\varsigma(x_2,y_2,z_2)$, то должно быть $u(x_1,y_1,z_1)=u(x_2,y_2,z_2).$
Вот и хорошо, разобрались вдвоем. Осталось доказать. Но это уж Вы сами. Только не забывайте, что в разных точках $\varsigma$ получена Вашим построением вдоль РАЗНЫХ линий тока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение03.12.2010, 09:13 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемая shwedka!

Спасибо Вам за Ваш великолепный комментарий, в котором Вы попытались разобраться в природе этого замечательного, но полузабытого, уравнения, которому в современных учебниках почему-то очень мало уделяют внимания или вообще не уделяют. Однако Вы поставили так много вопросов, что придется рассматривать их по очереди. По поводу уравнения
Вы в сообщении #382128 писал(а):
Ну, вот и замечательно.
Против формулы (9) ничего, естественно, не имею, хотя можно было бы Вас помучать с требованием указать, что обозначают величины в ней, всякие там $dx$.
А я все же предлагаю, давайте немного разберемся с природой уравнения. Это все-таки фундамент. К тому же оно еще нам может понадобиться по другим вопросам. Есть эта формула и в дифференциальной геометрии, и векторном анализе, и в высшей математике и много еще где. Но только ее вывод в учебниках не всегда достаточно прозрачный. Поэтому я для нашего общего взаимопонимания постарался скомпоновать совершенно элементарный вывод, на мой взгляд, подчеркивающий природу уравнения. По ходу моих рассуждений, надеюсь, немного прояснятся неосвещаемые в учебниках детали и отпадут некоторые Ваши вопросы.
С понятием производной все, вероятно, усвоили, что это по сути дела есть скорость чего-то. В нашем случае - это скорость перемещения материальной точки с координатами $\[
x,y,z
\]$ . А если мы интересуемся направлением, то это скорость изменения координат материальной точки $\[
x,y,z
\]$ в соответствующем направлении, т.е. соответственно $\[
\dot u_x ,_{} \dot u_y ,_{} \dot u_z 
\]$. Поэтому

$ \[
\frac{{dx}}
{{dt}} = \dot u_x ,_{} \frac{{dy}}
{{dt}} = \dot u_y ,_{} \frac{{dz}}
{{dt}} = \dot u_z 
\]      (1)  $

Разумеется, эти известные нам соотношения мы можем записать и в таком виде

$ \[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = dt,_{} \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = dt,_{} \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\]       (2) $

И конечно же мы можем теперь записать их в виде одного выражения

$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = dt
\]       (3) $

Как видите, получилась полная аналогия формулы (9) и даже символы слева одни и те же, поскольку обозначают, как и в формуле (9), пространственные координаты и скорости в тех же направлениях.
Поскольку каждая материальная точка имеет свою индивидуальную скорость и перемещается по отношению к фиксированной точке пространства, то для отражения этой особенности иногда пишут $\[
\dot u_i  = \dot u_i (x,y,z,t),_{} (i = x,y,z)
\]$ , но имеют в виду $\[
\dot u_i  = \dot u_i (x(t),y(t),z(t),t),_{} (i = x,y,z)
\] $. Это означает, что координаты материальных точек, находящихся в фиксированных неподвижных точках пространства в отличие от них подвижны. Это иногда вносит путаницу. Но ничего не поделаешь. Традиции менять сложно и, знаю по себе, небезопасно.
Если мы фиксируем свое внимание на неподвижные (фиксированные) точки пространства, то имеем в виду первую форму записи, хотя выражение в скобках, как правило, опускаем. Если же фиксируем внимание на подвижные материальные точки, то имеем в виду вторую форму записи, хотя и пишем первую, но обычно выражение в скобках тоже опускаем с оговоркой или даже без нее. Формула (3) получила название – уравнение траекторий.
Поскольку мы ведем речь о величинах скоростей одной и той же материальной точки в направлениях ориентации координатных осей, то само собой разумеется, что эти величины являются компонентами вектора скорости этой точки. Поэтому, имеются все основания записать уравнения (1) - (3) в векторной форме ( $\[
\vec r
\]$ -радиус-вектор, $\[
\dot \vec u
\]$ -вектор скорости)

$\[
\frac{{d\vec r}}
{{dt}} = \dot \vec u \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = dt
\]     (4) $

Из первой записи следует , что $\[
d\vec r
\] $ и $\[
\dot \vec u
\]$ коллинеарные векторы. Поэтому деление векторов правомерно. Если зафиксировать время, то можно ввести аналогичные коллинеарные векторы, а также скалярный параметр $\[
d\varsigma 
\] $ с размерностью времени и записать

$\[
d\vec r = \dot \vec ud\varsigma  \Rightarrow \frac{{d\vec r}}
{{\dot \vec u}} = d\varsigma 
\]     (5) $

По внешнему виду эти уравнения не отличаются от уравнения траекторий. Однако, следует иметь в виду, что время $ \[
t = \bar t
\]$ в эти соотношения тоже входит, но как параметр.Поэтому, чтобы подчеркнуть необходимость не отождествлять дифференциалы координат, в уравнении (5) их иногда обозначают в виде $\[
\delta x,_{} \delta y,_{} \delta z
\]$ .
В скалярной форме теперь можем записать нашу формулу с номером (9) в статье

$\[
\frac{{dx}}
{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}
{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}
{{\dot u_z }} = d\varsigma 
\]     (6) $

На мой взгляд, вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком сверхточном доказательстве. И вот почему. Если время не фиксировано, то и координаты материальной точки, и вектор скорости, как видите, могут быть представлены функциями только одной переменной – времени. В случае фиксированного времени вводится его аналог с такой же размерностью, в результате чего форма дифференциальных уравнений (3) и (6) остается одинаковой. Поэтому напрашивается вывод, что этот аналог, как и время в формуле (3), является той единственной переменной, через которую могут быть выражены пространственные координаты и скорость. Точное доказательство этого предположения для профессионального математика, вероятно, не вызовет особых затруднений.
Или, быть может, я заблуждаюсь и что-то не учитываю?

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение03.12.2010, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
Александр Козачок в сообщении #383035 писал(а):
давайте немного разберемся с природой уравнения.

Мне, конечно, претит деление на вектор. Так что попытайтесь такого избегать.


В отношении же уравнения (9), любые формы его возможны, пока не отрицается его основная сущмость. Оно описывает линию тока и движение частицы по линии тока в зависимости от параметра. Она совсем хороша, если, скажем, движение стационарное. Иначе, для нестационарного движения -- это воображаемая линия тока, как если бы мы заморозили поле скоростей в какой -то момент времени и осуществляли бы движение вдоль замороженного поля.

Но меня вполне устраивает и запись реальных уравнений движения вдоль линии тока, т.е. (1), (2), (3). Любое, какое Вам нравится. Или все.
Хотя на мой взгляд единственная запись не вызывающая излишних сомнений это, скажем,
$\frac{dr}{d\varsigma}=u$ (я не пишу Ваших точек и стрелочек)
поскольку здесь присутствуют четко определенные математические понятия, производные, а в других записях присутствуют дифференциалы, опять же вполне легальные объекты с точки зрения математики, но отчасти теряющие определенность у нематематиков (всякие там 'бесконечно малые' без четкого определеления..) Но не хочу об этом спорить и соглашаюсь со всеми Вашими формулами и интерпретациями, кроме деления на вектор. Это все же совсем нелегальная операция и использовать ее в аргументации НИКОГДА нельзя.
Так что дальше обсуждать здесь нечего.

Дальше я не вполне понимаю русский язык. Отвыкла, понимаете ли.
Александр Козачок в сообщении #383035 писал(а):
вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком сверхточном доказательстве.

Меня смущает слово 'таком.' Означает ли цитата, что ТАКОЕ сверхточное доказательство, по Вашему мнению, Вы уже дали в предшествующем тексте? Или надо понимать

вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком уж сверхточном доказательстве.
То есть, вообще-то очевидно, но педанты пусть доказывают.
Поясните, пожалуйста.

Если имеет место первый вариант, то я как-то доказательства не заметила. Может быть, сначала договоримся о том, что доказывается.
Я понимаю нужное утверждение так.
Для любого поля скоростей, удовлетворяющего УНС, можно найти такую функцию $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$, что для $(x,y,z)$ в некоторой области пространства выполнено $ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$

Или, может быть, доказательству подлежит другое утверждение
Для любого поля скоростей, удовлетворяющего УНС, для фиксированной линии тока, можно найти такую функцию $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$, что для любой точки $(x,y,z)$, лежащей на этой линии тока, выполнено $ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$


Я Вам даже, по секрету, скажу, что со второй формулировкой я полностью согласна и с радостью принимаю Ваши рассуждения в качестве доказательства.
С первой же формулировкой дело сложнее. Как написано выше, доказательства я у Вас не заметила.

Определитесь, все же, пожалуйста, трудно ведь обсуждать доказательство несформулированного утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение03.12.2010, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61241
shwedka в сообщении #383054 писал(а):
Дальше я не вполне понимаю русский язык. Отвыкла, понимаете ли.

Скорее, ваш собеседник отвык на нём говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение05.12.2010, 09:58 


04/04/06
324
Киев, Украина
Губокоуважаемые Участники Научного Форума!

shwedka в сообщении #383054 писал(а):
Я Вам даже, по секрету, скажу, что со второй формулировкой я полностью согласна и с радостью принимаю Ваши рассуждения в качестве доказательства. .

Поэтому я искренне пишу ей ответ:
Спасибо за это необычайно важное публичное признание «по секрету» . И хотя я верил, что когда-нибудь Вы что-то подобное скажете, все равно это стало для меня полной неожиданностью.
А теперь до перехода к интегралам давайте попытаемся две Ваши формулировки отшлифовать и состыковать.
Цитата:
Я понимаю нужное утверждение так.
Для любого поля скоростей, удовлетворяющего УНС, можно найти такую функцию $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$, что для $(x,y,z)$ в некоторой области пространства выполнено $ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$

Или, может быть, доказательству подлежит другое утверждение
Для любого поля скоростей, удовлетворяющего УНС, для фиксированной линии тока, можно найти такую функцию $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$, что для любой точки $(x,y,z)$, лежащей на этой линии тока, выполнено $ \[ \dot u_i (x,y,z)= \dot u_i (\varsigma (x,y,z)) \]$
Мои замечания следующие:
1. Имеется в виду не любое поле, а только векторное.
2 Поле скоростей, не обязательно удовлетворяющее УНС.
3. Через каждую точку векторного поля (пространства) проходит векторная линия ( линия тока для жидкости), причем только одна. Поэтому все без исключения точки исследуемой области пространства лежат на своих векторных линиях или иначе образуют векторные линии. Точек, не лежащих на векторных линиях, нет. Поэтому фраза «лежащей на этой линии тока», вероятно, не нужна. В таком случае фраза «для фиксированной линии тока» может быть изменена так: «для фиксированного момента времени».
4, Фраза «можно найти такую функцию», мне кажется, противоречит записи самого уравнения, из которого следует, что эта функция уже содержится в нем. Справа ведь записан ее дифференциал. Причем, форма записи этой функции для двумерного течения несжимаемой жидкости хорошо известна. Ее, оказывается, предложил сам Лагранж , интересовавшийся этим уравнением.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение05.12.2010, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
Я не дождалась ответа. Повторяю.
Цитата:
Дальше я не вполне понимаю русский язык. Отвыкла, понимаете ли.
Александр Козачок в сообщении #383035 писал(а):
Цитата:
вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком сверхточном доказательстве.


Меня смущает слово 'таком.' Означает ли цитата, что ТАКОЕ сверхточное доказательство, по Вашему мнению, Вы уже дали в предшествующем тексте? Или надо понимать

Цитата:
вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком уж сверхточном доказательстве.

То есть, вообще-то очевидно, но педанты пусть доказывают.
Поясните, пожалуйста


Александр Козачок в сообщении #383739 писал(а):
Поэтому фраза «лежащей на этой линии тока», вероятно, не нужна

Очень нужна. Ключевое слово ЭТОЙ.
Принципиально следущее. Либо Вы находите функцию $\varsigma$ на одной линии тока, либо на всех линиях тока.
Разницу понимаете?
Короче!! Какую из формулировок Вы принимаете и думаете доказывать? Они РАЗНЫЕ. состыковать их нельзя! Напишите самостоятельно!
Я считаю свои формулировки вполне четкими, и не пытайтесь мое согласие с доказательством формулировки 2 выдавать за согласие с какой-либо другой формулировкой, даже с изменением хотя бы одного слова.
Так что. Повторяю


Я категорически отказываюсь обсуждать какие-либо 'доказательства,' пока Вы не сформулируете точно, что Вы доказываете.
Никакого обсуждения без ВАШЕЙ четкой формулировки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение06.12.2010, 17:39 


04/04/06
324
Киев, Украина
shwedka в сообщении #383764 писал(а):
Я не дождалась ответа. Повторяю.
Прошу меня простить, поскольку я не хотел нагромождения большого количества вопросов в одном сообщении.
Цитата:
Дальше я не вполне понимаю русский язык. Отвыкла, понимаете ли.
Александр Козачок в сообщении #383035 писал(а):
Цитата:
вывод о возможности представления вектора скорости в виде функции одной вспомогательной переменной вообще не нуждается в таком сверхточном доказательстве.

Меня смущает слово 'таком.' Означает ли цитата, что ТАКОЕ сверхточное доказательство, по Вашему мнению, Вы уже дали в предшествующем тексте?
Совсем не означает. Во – первых потому, что я не владею техникой таких изощренных доказательств. Во-вторых, предложенное мною доказательство можно было бы даже опустить и ограничиться вводным словом «Известно» с последующей ссылкой и дальше «что вектор скорости может быть представлен в виде функции одной вспомогательной переменной». Так же как многое другое известное и представленное в статье ссылками на соответствующие публикации. Я привел свое доказательство лишь только потому, что из него вытекают некоторые важные следствия, на которые надо будет сослаться в другой статье. К тому же Ваша критика, надеюсь, поможет его усовершенствовать. Если это случится, то я обязательно об этом напишу (о многом другом я уже точно напишу, если успею) во втором разделе учебного пособия «Парадоксы механики сплошных сред…».
Цитата:
То есть, вообще-то очевидно, но педанты пусть доказывают.
Поясните, пожалуйста
Не педанты, а одаренные личности, овладевшие виртуозной техникой математического искусства, которые смогут преподнести прозрачное и красивое доказательство.
А вот теперь, прежде, чем сформулировать то, что Вы требуете, я прошу просветить меня по вопросу: допустимо ли отождествлять запись $\[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma '_i )
\] $ с записью $ \[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma )
\]$ . Здесь $\[
\varsigma '_i 
\]$ означает частные производные скалярной функции по пространственным координатам.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение06.12.2010, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3453
Швеция
Александр Козачок в сообщении #384274 писал(а):
допустимо ли отождествлять запись $\[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma '_i ) \] $ с записью $ \[ \dot u_i = \dot u_i (\varsigma ) \]$ . Здесь $\[ \varsigma '_i \]$ означает частные производные скалярной функции по пространственным координатам.

Не допустимо. это очень разные вещи.Вам же нужно именно второе, а не первое.
А теперь давайте Вашу формулировку. Без всякой дальнейшей болтовни.
А раз отказываетесь доказывать, то ссылочку, как обещали, про 'известно'.
Я хочу, чтобы Вы поняли. вы претендуете на решение математической задачи. Извольте соблюдать правила в отношении четкости выражения, принятые в математике. Иначе нечего со своим вкладом возникать, в особенности, под таким претенциозным названием.

Цитата:
Navier – Stokes Millennium Prize Problem. Alternative Solution

Математический уровень точности включает, в частности, требование, чтобы все утверждения были сформулированы так, что они допускают только ОДНО толкование. никаких умолчаний, недоговоренностей. Я люблю говорить своим студентам: Если написанное вами можно понять неправильно, значит, написано плохо.

Итак, у ВАс ключевое свойство, на которое опираются все дальнейшие построения, это равенство нулю дивергенции ускорения. Это-Ваша новация.
Сформулировано хорошо, не допускает различных толкований.
Теперь надо доказывать. Вы начинаете с того, что необходимость доказательства признаете
Цитата:
However, this optimistic сonjecture $div\ w=0$ [я пишу, для простоты, для несжимаемой жидкости] requires the proof. Such proof received by several alternative methods.


То есть Вы признаете нужду в доказательстве и претендуете, что его даете.

затем вы делаете предположение.
To prove expressions (3*) and (5**) ....Suppose the velocity vector $\[ \dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t) \]$ can be represented by one auxiliary variable $\[ \varsigma = \varsigma (x,y,z) \]$ as $\[ \dot \vec u = \dot \vec u(\varsigma ) \]$
Это сформулировано неточно. Я предложила Вам по крайней мере два раzличных толкования. Без сомнения, есть и еще.

Затем Вы пишете
Цитата:
Now we must prove the representation possibility $\dot u_i = \dot u_i (\varsigma ) $


Действительно, must.
Вопрос в том, справляетесь ли Вы с Вашим must. А это трудно, потому что доказываемое не сформулировано точно. Потому я и добиваюсь от Вас формулировки, точной и однозначно понимаемой формулировки свойства representation possibility $\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )$
Формулировку выбирать Вам. Поэтому бессмысленно с Вашей стороны предлагать мне повернуть ее так или сяк. Хватит. Выбирайте сасмостоятельно формулировку
свойства representation possibility $\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )$, которая Вам нравится.

А дальше пойдет так.
Сначала рассмотрим формулировку. Если она допускает неоднозначное толкование, делаете шаг назад и чините формулировку.

Когда, наконец, формулировка согласована и зафиксирована. Вы делаетe две вещи. 1. Проверяте, что Ваше доказательство свойства $div \  w=0$ с этой формулировкой проходит. 2. доказываете утверждение о представлении в этой формулировке или даете ссылку на источник, где оно доказано.

И все. Это Вы предложили обсудить Вашу статью. Не нравится, как я это делаю, милости просим, оставайтесь со своими ошибками. Пока поставленная программа не выполнена, никакого обсуждения других вопросов с моей стороны не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Immortal Smooth Solution of the Three Space Dimensional Navi
Сообщение08.12.2010, 09:09 


04/04/06
324
Киев, Украина
Губокоуважаемые Участники Научного Форума!

shwedka в сообщении #384290 писал(а):
А теперь давайте Вашу формулировку. Без всякой дальнейшей болтовни.
А раз отказываетесь доказывать, то ссылочку, как обещали, про 'известно'.

Я хочу, чтобы мой уважаемый оппонент и все следящие за дискуссией поняли следующее. Сейчас основная часть проблемы на пути к признанию результатов этой работы кроется уже не в однозначности формулировок и точности обсуждаемого доказательства. Эта часть проблемы решается достаточно просто. Приведенное в статье доказательство может быть заменено (или дополнено) альтернативным со ссылкой на признанные источники. Оно выглядит так:
Уравнения векторных линий можно представить в форме

$\[
\begin{gathered}
  \frac{{dx}}
{{d\varsigma }} = \dot u_x (x,y,z) \hfill \\
  \frac{{dy}}
{{d\varsigma }} = \dot u_y (x,y,z) \hfill \\
  \frac{{dz}}
{{d\varsigma }} = \dot u_z (x,y,z) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

Как известно решение такой системы дифференциальных уравнений имеет вид $ \[
x = x(\varsigma ),_{} y = y(\varsigma ),_{} z = z(\varsigma )
\]$ [из приведенной ниже ссылки],

Изображение
Изображение


С учетом приведенных в ссылке выражений получаем требуемый результат $ \[
\dot u_i  = \dot u_i (\varsigma )
\]$

Однако несмотря на простоту и очевидность доказательства с помощью этой ссылки, доказательство с представлением $\[
\varsigma 
\]$ в виде интегралов имеет важное преимущество. Обратите внимание, что приравнивая попарно эти интегралы

$\[
\begin{gathered}
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_x }}} dx + C_x  \hfill \\
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_y }}} dy + C_y  \hfill \\
  \varsigma  = \int {\frac{1}
{{\dot u_z }}} dz + C_z  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

мы убеждаемся, что не всякие три функции $\[
\dot u_i  = \dot u_i (x,y,z)
\]$ позволяют обеспечить такие равенства. Таким образом, казавшееся сомнительным, утверждение Лойцянского "не всякие три функции координат образуют векторное поле" получает обоснование.

Основная часть проблемы сейчас скрывается в контрпримерах в виде т.н. точных решений УНС, которые удовлетворяют УНС, но не дают равенства нулю дивергенции ускорения. Одна из таких ситуаций в статье рассмотрена (Important note) , но уже видны и другие, причем, более завуалированные ситуации, требующие осмысления и ломки традиционных представлений. Вот именно эту часть проблемы мне бы хотелось обсудить.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group