Пеано аксиомы.Логика.Помощь.

[Gun1999]

Можете помочь доказать с помощью Арифметики (Аксиом) Пеано следующие утверждения:
$(\forall x)(\forall y)(y \cdot x = x \cdot y)$
$(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x \cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdotz)$
Не знаю как решать.
основные аксиомы:
Дословный текст
1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
4. Аксиома полной индукции.
Математическая:
1.$1\in \mathbb{N}$;
2.$1\in \mathbb{N}$\to$S(x) \in \mathbb{N}$$;
3.S(b)=a$\to$(S(c)=a$\to$b=c)$;
4.P(1)$\wedge(\forall n (P(n) \to P(S(n)))\to \forall n \in \mathbb{N} (P(N))) $;

Помогите решить если вам это не трудно..Нужно к вечеру..

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

2. Приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[mkot]

Gun1999 в сообщении #381549 писал(а):

Можете помочь доказать с помощью Арифметики (Аксиом) Пеано следующие утверждения:
$(\forall x)(\forall y)(y \cdot x = x \cdot y)$
$(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x \cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdotz)$
Не знаю как решать.
основные аксиомы:
Дословный текст
1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
4. Аксиома полной индукции.
Математическая:
1.$1\in \mathbb{N}$;
2.$1\in \mathbb{N}$\to$S(x) \in \mathbb{N}$$;
3.S(b)=a$\to$(S(c)=a$\to$b=c)$;
4.P(1)$\wedge(\forall n (P(n) \to P(S(n)))\to \forall n \in \mathbb{N} (P(N))) $;

Введение в математическую логику Мендельсона или что-то подобное смотрели? Если нет, то обязательно посмотрите.

Сначала определитесь, что за значок $\cdot$ в доказываемых утверждениях. Так как в приведённых вами аксиомах он не встречается.

[Munin]

Аксиомы явно списаны с Википедии, там ещё приведены определения сложения и умножения - 4 аксиомы (хотя принадлежат, вроде бы, не Пеано, а Грассману, http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassi ... arifm.djvu ):

1. $x+0=x$
2. $x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)$
3. $x \cdot 0=0$
4. $x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1$

[mkot]

Munin в сообщении #381782 писал(а):

Аксиомы явно списаны с Википедии,

Сначала не обратил внимание, но списаны они с ошибками.

[Maslov]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #381782 писал(а):

Аксиомы явно списаны с Википедии, там ещё приведены определения сложения и умножения - 4 аксиомы (хотя принадлежат, вроде бы, не Пеано, а Грассману, http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassi ... arifm.djvu ):

1. $x+0=x$
2. $x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)$
3. $x \cdot 0=0$
4. $x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1$

А откуда $0$ взялся?

Часто $+$ и $\cdot$ вводятся по определению, с доказательством существования и единственности.
Феферман С. Числовые системы.
Нечаев В.И. Числовые системы.

[Munin]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #381807 писал(а):

А откуда $0$ взялся?

Ну вот уж я не знаю. В книжке, на которую я ссылался, И. В. Арнольда 1938 года, иначе:

• $x+1=S(x)$
• $x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)$
• $1\cdot x=x$
• $S(x_1)\cdot x_2=x_1\cdot x_2+x_2$

Кстати, там же и доказательства свойств, а сам я не сообразил, как коммутативность умножения доказывать.