Последовательные нули в десятичной записи числа n

[Xenia1996]

Пусть $p$ - простое число, а $m$ - натуральное. Доказать, что существует натуральное число $n$ такое, что существует $m$ последовательных нулей в десятичной закиси числа $p^n$.

(источник задачи)

Японская олимпиада по математике, 2001

Если $p$ не равно 2 и не равно 5, то решение очевидно, ибо $p$ взаимопросто с 2 и 5, значит $p^n$ может давать остаток 1 при делении на любую степень десятки. Скажем, некоторая степень тройки обязательно окончится на 0000000001.

Но что, если наше простое равно 2 или 5?

[RIP]

Например, можно, используя иррациональность $\log_{10}p$, показать, что сущвует $n$ такое, что $p^n$ начинается с $1\underbrace{0\ldots0}_{m}$ (и вообще, с чего захотите).

[MrDindows]

Для $p=2$ аналогично вашему доказательству:
Существует такое $k>2m$, что $2^k $даёт остаток $2^{2m}$ при делении на $5^{2m}$. Значит число $2^k-2^{2m}$ делится на $10^{2m}$. Остаётся показать, что в числе $2^{2m}$ знаков меньше чем $m$, что очевидно. Тоесть в числе$ 2^k$ последние $2m$ цифр имеют вид: $..000($больше чем $m$ штук)..000..2^{2m}.$

-- Сб ноя 27, 2010 19:49:14 --

Для $p=5 $ точно так же, только остаток будет $5^{4m}$.