Методы математической физики

[Himfizik]

s.o.s. в сообщении #380694 писал(а):

Мде.Пропаду на два дня, буду обмозговывать весь масштаб своего провала...

Ну на два дня, конечно, не надо... А минуту времени стоит уделить этому исправлению в знаке и в уравнении движения...

[s.o.s.]

Я хочу вернуться к исходным данным.
Что такое x в u(x,t)?
Ну то что это ось, вдоль которой происходит колебание, это понятно.
Но мне здесь не всё ясно... координата для n-го шарика равна n*a?Так?

[Himfizik]

s.o.s. в сообщении #380806 писал(а):

Но мне здесь не всё ясно... координата для n-го шарика равна n*a?Так?

В нерастянутом состоянии - да!

$u(x,t)$ - смещение шарика от положения равновесия, а с $x$, я видимо поторопился, не сказав вам вот чего: массы дискретно протянуты вдоль струны, для получения волнового уравнения неплохо бы перейти к непрерывному распределению масс, то есть осуществим переход (замену):
$u_n --> u(x,t)$, (где вообще говоря$x=na$) устремляя $a-->0$...можем без зазрения совести записать ряды Тейлора по малому параметру $a$...
Ах да, еще вот что, с массой поступим так: введем линейную плотность(все-таки непрерывность затребовали ) $m=\rho a$. А дальше все как писал выше: подставим разложения в ур-ие Ньютона и все...

[s.o.s.]

Кажется начинаю понимать.То есть у нас теперь как бы каждая точка шарик.И уравнение Ньютона будем записывать между тремя бесконечно близкими точками с массой dm.Или можно сперва написать уравнения для "нормальных" шариков, а потом устремить $a$ к нулю и применить ряды Тейлора.
И вроде с u(x,t) тоже разобрался. К примеру, если начальное смещение x0, то уравнение u(x,t)=x0 определяет фронт волны

[ewert]

Шарики с пружинками -- это действительно лишнее, они только затемняют дело. Сила натяжения в точке, исходная (до смещения) координата которой была $x$, а после смещения стала $y(x)$, равна $F(x)=k\cdot\dfrac{dy-dx}{dx}=k\cdot(y'_x-1)$, где $k=E\cdot S$ (модуль Юнга на площадь сечения). На участок длины $dx$ (в "старых" координатах) действует суммарная сила $F(x+dx)-F(x)=F'_x\cdot dx=\big(k\cdot(y'_x-1)\big)'_x\cdot dx=k\,y''_{xx}\,dx$ (если модуль Юнга не зависит от координаты). Ускорение этого участка -- это $y''_{tt}$, а масса $dm=\rho\,S\,dx$ (где $\rho$ -- объёмная плотность в ненапряжённом состоянии). И остаётся только всё это склеить и выразить новую координату точки $y(x,t)$ через смещение этой точки $u(x,t)=y(x,t)-x$.

(Со знаками всё нормально: если, скажем, $u'_x>1$, то стержень в этой точке именно растянут и, следовательно, сила упругости тянет тот участок именно влево, когда приложена к его левому концу, и вправо, когда к правому.)

[Himfizik]

s.o.s. в сообщении #381015 писал(а):

Кажется начинаю понимать.То есть у нас теперь как бы каждая точка шарик.И уравнение Ньютона будем записывать между тремя бесконечно близкими точками с массой dm.Или можно сперва написать уравнения для "нормальных" шариков, а потом устремить $a$ к нулю и применить ряды Тейлора.
И вроде с u(x,t) тоже разобрался. К примеру, если начальное смещение x0, то уравнение u(x,t)=x0 определяет фронт волны

Резонно... Вот вам и вывод для волнового уравнения через механические соображения...

-- Сб ноя 27, 2010 14:43:40 --

ewert в сообщении #381027 писал(а):

Шарики с пружинками -- это действительно лишнее, они только затемняют дело. Сила натяжения в точке, исходная (до смещения) координата которой была $x$, а после смещения стала $y(x)$, равна $F(x)=k\cdot\dfrac{dy-dx}{dx}=k\cdot(y'_x-1)$, где $k=E\cdot S$ (модуль Юнга на площадь сечения). На участок длины $dx$ (в "старых" координатах) действует суммарная сила $F(x+dx)-F(x)=F'_x\cdot dx=\big(k\cdot(y'_x-1)\big)'_x\cdot dx=k\,y''_{xx}\,dx$ (если модуль Юнга не зависит от координаты). Ускорение этого участка -- это $y''_{tt}$, а масса $dm=\rho\,S\,dx$ (где $\rho$ -- объёмная плотность в ненапряжённом состоянии). И остаётся только всё это склеить и выразить новую координату точки $y(x,t)$ через смещение этой точки $u(x,t)=y(x,t)-x$.

(Со знаками всё нормально: если, скажем, $u'_x>1$, то стержень в этой точке именно растянут и, следовательно, сила упругости тянет тот участок именно влево, когда приложена к его левому концу, и вправо, когда к правому.)

Хороший альтернативный способ получить уравнение... Но как видно, при выводе используется (что естественно) все тоже самое: уравнение движение в форме закона Гука и асимптотическое разложение для силы или координаты...

-- Сб ноя 27, 2010 14:48:03 --

s.o.s.

Теперь переходите к способам получить это уравнение, используя соображения и фактуру других разделов физики... (гидродинамика, электромагнетизм...)

[s.o.s.]

Himfizik в сообщении #381035 писал(а):

Теперь переходите к способам получить это уравнение, используя соображения и фактуру других разделов физики... (гидродинамика, электромагнетизм...)

Боюсь, что мне рано ещё преходить, так как ещё много чего не ясно
Меня всё мучает вопрос, если $\[u_n (x,t)\]$ смещение n-го шарика, то что такое x? Его координата в определённый момент времени?Но тогда, зная начальную позицию x0, (а мы знаем её так как период постоянен) мы можем просто написать смещение как x-x0.И зачем нам вообще тут тогда нужна $\[u_n (x,t)\]$? Это просто формальная конструкция для дальнейших целей?

-- Вт ноя 30, 2010 08:23:09 --

ewert в сообщении #381027 писал(а):

Шарики с пружинками -- это действительно лишнее, они только затемняют дело. Сила натяжения в точке, исходная (до смещения) координата которой была $x$, а после смещения стала $y(x)$, равна $F(x)=k\cdot\dfrac{dy-dx}{dx}=k\cdot(y'_x-1)$, где $k=E\cdot S$ (модуль Юнга на площадь сечения). На участок длины $dx$ (в "старых" координатах) действует суммарная сила $F(x+dx)-F(x)=F'_x\cdot dx=\big(k\cdot(y'_x-1)\big)'_x\cdot dx=k\,y''_{xx}\,dx$ (если модуль Юнга не зависит от координаты). Ускорение этого участка -- это $y''_{tt}$, а масса $dm=\rho\,S\,dx$ (где $\rho$ -- объёмная плотность в ненапряжённом состоянии). И остаётся только всё это склеить и выразить новую координату точки $y(x,t)$ через смещение этой точки $u(x,t)=y(x,t)-x$.

(Со знаками всё нормально: если, скажем, $u'_x>1$, то стержень в этой точке именно растянут и, следовательно, сила упругости тянет тот участок именно влево, когда приложена к его левому концу, и вправо, когда к правому.)

Спасибо, но мне тут не всё понятно ...вот сначала координата была x, когда сместилась стала y, так почему закон Гука нельзя написать просто как $\[F(x)=k(y-x)\]$, а нужно брать дифференциалы у и x?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #381966 писал(а):

вот сначала координата была x, когда сместилась стала y, так почему закон Гука нельзя написать просто как $\[F(x)=k(y-x)\]$,

Потому, что растяжение в данном месте (а не усреднённое по большому участку) вовсе не определяется смещением конкретно этой точки. Растяжение определяется соотношением расстояний между парой соседних точек -- в новом (растяжённом) состоянии и в исходном.

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #381035 писал(а):

Хороший альтернативный способ получить уравнение...

Ни хрена себе альтернативный... Это ж стандарт.

[s.o.s.]

То есть исходное расстояние- это dx?

[ewert]

s.o.s. в сообщении #381989 писал(а):

То есть исходное расстояние- это dx?

Да. А новое -- $dy$, т.е. $du+dx$.

[Himfizik]

s.o.s. в сообщении #381966 писал(а):

если смещение n-го шарика, то что такое x?

Запись $u(x,t)$ означает, что нас интересует смещение $u$, которое испытал шарик, имевший координату $x (=na в нерастянутом состоянии)$ в момент времени $t$... Просто математическая запись этих слов...

ewert

Я имел ввиду способ альтернативный моему и ничего больше (альтернативный не всей науке физике ) Вы получили уравнение несколько иначе, хотя по сути это тоже самое, но другими словами... Поэтому, конечно, это стандарт, если хотите...

[s.o.s.]

Боюсь, вы немного не поняли, что я имел ввиду.
Я за время немного подправил свои мысли и вот, что меня беспокоит:
Когда у нас $\[u(x ,t)\]$ , то в момент t наш шарик(уже превратившийся в мини шарик) имеет координату x, а его начальное положение определяется, как $\[x-u(x,t)\]$.
Когде у нас $\[u_n (x,t)\]$, мы ещё не перешли к пределу, то начальное положение шарика известно и равно x, а текущее, в момент t, равно $\[x+u_n (x,t)\]$.
Помоему в процессе вывода, мы одну функцию подменяем другой, нет?

-- Ср дек 01, 2010 04:40:36 --

ewert в сообщении #381994 писал(а):

s.o.s. в сообщении #381989 писал(а):

То есть исходное расстояние- это dx?

Да. А новое -- $dy$, т.е. $du+dx$.

Посмотрите на мой рисунок ,пожалуйста,
***********|dx|*************************
-----------.---.-----------.------------> пружина!
***************x***********y*************
Где будет расстояние dy?Между первой и третьей точкой?

[Himfizik]

Нет все законно... Вы говорите: пусть начальная координата носителя массы $x$, после смещения $x+u(x,t)$...Это все правильно...Но смещение, которое входит в закон Гука (жесткость на смещение), это ведь самое настоящее $u(x,t)$. Это самое смещение носителя массы меняется от точки к точке с течением времени...
Далее в разложении в ряд еще раз повторюсь: $m=\rho a$, $u_n --> u(x,t)$, $x=na$, $a-->0$, то есть $u_{n+1}-->u(x+a)$...Просто раскладываем $u$ по малому параметру $a$, не больше не меньше...
Подмена, о которой вы намекаете, могла бы быть только в записи второго закона Ньютона (ибо в рядах мы формально осуществили разложение), но там ее нет... все честно... жесткость на смещение - есть сила...

Вас видимо запутывает то, что смещение и ось $x$ вдоль одного направления... Тогда представьте, а лучше проведите расчет для случая, когда грузики совершают колебания поперек струны, где $u$ - отклонение в поперечном направлении от положения равновесия, а $x$ - все таже горизонтальная координата грузиков... Ответ не изменит своего вида...

[Munin]

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #382433 писал(а):

$u_n --> u(x,t)$, $a-->0$, $u_{n+1}-->u(x+a)$

$u_n\to u(x,t)$, $a\to 0$, $u_{n+1}\to u(x+a)$

[Himfizik]

(Оффтоп)

Munin

Спасибо