Принцип подстановки

[Виктор Викторов]

В теме topic26077.html с помощью AGu мне удалось разобраться в аксиоме подстановки. Всё было хорошо, но я нашел в книге Колмогорова и Драгалина кусок: "Рассмотрим операции над множествами, такие как $Px$, $x\cup y$, $x\cap y$. Нельзя рассматривать знак $P$ в выражении $Px$ (множество всех подмножеств множества $x$) как знак функции, так же и знак $\cup$ в выражении $x\cup y$ нельзя рассматривать как знак функции двух переменных. Дело в том, что, например, $\left\{<x, y> | Px = y \right\}$ есть уже собственный класс, а не множество. Функция же по определению есть всегда множество.
Однако если ограничить область определения операции множествами, то ограниченная таким образом операция уже является функцией. Так, если $M$ — множество, то $\left\{<x, y> | x\in M, Px = y \right\}$ также есть множество. Это — один из фундаментальных принципов образования множеств, принцип подстановки." А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин "Математическая логика". Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006 страница 27.

$\left\{<x, y> | x\in M, Px = y \right\}$ — множество упорядоченных пар множеств. $x$ — множество и элемент множества $M$, $y$ — множество всех подмножеств множества $x$. Причем здесь принцип подстановки? Если этот текст к чему-нибудь и взывает, так к аксиоме множества-степени.

[Xaositect]

А как Вы собираетесь существование этого множества без подстановки доказывать? Если бы было так: $\{\left< x, y\right>| x\in M, y\in PP\cup M , y=Px\}$, то можно выделением, а вот именно так, как у Вас написано - легче подстановкой, чтобы не придумывать это самое $PP\cup M$

-- Чт ноя 25, 2010 03:02:10 --

Раз существует область определения $M$, и для любого $x$ (а значит, для любого $x\in M$) существует единственное $\left<x, y\right>$ такое, что $y=Px$, то существует и множество значений, т.е. $\{\left<x, y\right>|x\in M, y = Px\}$. Это как раз аксиома подстановки в чистом виде.

[Виктор Викторов]

Под этим множеством мы понимаем $\left\{<x, y> | x\in M, Px = y \right\}$. Про него я вообще пока помалкиваю и у меня есть на это причины. Что такое множество упорядоченных пар Колмогоров и Драгалин толком не объяснили.

Xaositect в сообщении #380192 писал(а):

Раз существует область определения $M$, и для любого $x$ (а значит, для любого $x\in M$) существует единственное $\left<x, y\right>$ такое, что $y=Px$, то существует и множество значений, т.е. $\{\left<x, y\right>|x\in M, y = Px\}$. Это как раз аксиома подстановки в чистом виде.

Нет. Аксиома подстановки дает $\{\lefty y |x\in M, y = Px\}$. И ещё хорошо бы сказать что это за зверь в этом исполнении!

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #380196 писал(а):

Под этим множеством мы понимаем $\left\{<x, y> | x\in M, Px = y \right\}$. Про него я вообще пока помалкиваю и у меня есть на это причины. Что такое множество упорядоченных пар Колмогоров и Драгалин толком не объяснили.

Параграф 3 "Отношения и функции в языке теории множеств", первое определение - упорядоченная пара $\left<x,y\right> = \{x,\{x,y\}\}$.

Цитата:

Xaositect в сообщении #380192 писал(а):

Раз существует область определения $M$, и для любого $x$ (а значит, для любого $x\in M$) существует единственное $\left<x, y\right>$ такое, что $y=Px$, то существует и множество значений, т.е. $\{\left<x, y\right>|x\in M, y = Px\}$. Это как раз аксиома подстановки в чистом виде.

Нет. Аксиома подстановки дает $\{\lefty y |x\in M, y = Px\}$. И ещё хорошо бы сказать что это за зверь в этом исполнении!

Ну возьмем не $\left<x,y\right>, y = Px$, а $\left<x,\left<x, y\right>\right>, y = Px$. Получим то, что надо.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #380197 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #380196 писал(а):

Под этим множеством мы понимаем $\left\{<x, y> | x\in M, Px = y \right\}$. Про него я вообще пока помалкиваю и у меня есть на это причины. Что такое множество упорядоченных пар Колмогоров и Драгалин толком не объяснили.

Параграф 3 "Отношения и функции в языке теории множеств", первое определение - упорядоченная пара $\left<x,y\right> = \{x,\{x,y\}\}$.

Нет. Вот этот кусок. Страница 24. "1. Существуют различные способы введения «упорядоченной пары» двух предметов. Мы считаем, что для всяких множеств $a$ и $b$ существует множество $<a, b>$ — упорядоченная пара $a$ и $b$.
Основное свойство этого множества таково: для любых $x$, $y$, $x'$, $y'$ имеем

$$<x, y> = <x', y'> \Longleftrightarrow (x = x') \wedge (y=y')$$

"
Каким образом из предыдущего параграфа "О понятии множества" это множество пар - множество? Я уж помалкиваю про случай $x=y$. А чтение Бурбаки к этому моменту, мне кажется, не предусмотрено.

Цитата:

Xaositect в сообщении #380192 писал(а):

Раз существует область определения $M$, и для любого $x$ (а значит, для любого $x\in M$) существует единственное $\left<x, y\right>$ такое, что $y=Px$, то существует и множество значений, т.е. $\{\left<x, y\right>|x\in M, y = Px\}$. Это как раз аксиома подстановки в чистом виде.

Нет. Аксиома подстановки дает $\{\lefty y |x\in M, y = Px\}$. И ещё хорошо бы сказать что это за зверь в этом исполнении!

Xaositect в сообщении #380197 писал(а):

Ну возьмем не $\left<x,y\right>, y = Px$, а $\left<x,\left<x, y\right>\right>, y = Px$. Получим то, что надо.

Это уже веселей, но в "О понятии множества" дают модифицированную (в лучшую сторону) и урезанную систему ZF, а аксиомы подстановки там нет. Как использовать, то чего нет?

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Нет. Вот этот кусок.

У меня издание 2004 года, вероятно, это место решили уточнить.

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Это уже веселей, но в "О понятии множества" дают модифицированную (в лучшую сторону) и урезанную систему ZF, а аксиомы подстановки там нет. Как использовать, то чего нет?

А такого вообще нет... В обоих списках аксиом вижу аксиому подстановки.

-- Чт ноя 25, 2010 04:49:50 --

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Каким образом из предыдущего параграфа "О понятии множества" это множество пар - множество? Я уж помалкиваю про случай $x=y$. А чтение Бурбаки к этому моменту, мне кажется, не предусмотрено.

Ну в общем пару можно как-нибудь ввести (напр. $\{x,\{x,y\}\}$ или $\{\{\varnothing, x\},\{\{\varnothing\}, y\}\}$), а основное свойство пары - доказать.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #380202 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Нет. Вот этот кусок.

У меня издание 2004 года, вероятно, это место решили уточнить.

Ваш вариант лучше.

Xaositect в сообщении #380202 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Это уже веселей, но в "О понятии множества" дают модифицированную (в лучшую сторону) и урезанную систему ZF, а аксиомы подстановки там нет. Как использовать, то чего нет?

А такого вообще нет... В обоих списках аксиом вижу аксиому подстановки.

Чего нет? Что касается аксиом, то в "О понятии множества" (стр. 21) вводятся 1) пустой класс, 2) единичное множество, 3) объединение, пересечение и разность множеств, 4) множество натуральных чисел, 5) множество-степень и 6) аксиома выделения причем все это еще не названо аксиомами, но сделано с толком и весьма выразительно. А первое упоминание аксиомы подстановки я привел.

Xaositect в сообщении #380202 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #380199 писал(а):

Каким образом из предыдущего параграфа "О понятии множества" это множество пар - множество? Я уж помалкиваю про случай $x=y$. А чтение Бурбаки к этому моменту, мне кажется, не предусмотрено.

Ну в общем пару можно как-нибудь ввести (напр. $\{x,\{x,y\}\}$ или $\{\{\varnothing, x\},\{\{\varnothing\}, y\}\}$), а основное свойство пары - доказать.

Конечно, можно. Но, "так-то оно так. Да вот оно как". Сделано-то, именно, так, как я написал.