1-формы

[Niclax]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!
Помогите доказать, что:

$de^x-e^xdx\neq0$

Заранее спасибо.

[neo66]

Зачем вам это доказывать, тем более, что это неверно?

[Niclax]

neo66 в сообщении #379745 писал(а):

Зачем вам это доказывать, тем более, что это неверно?

Должно быть верно. А нужно это затем, чтобы доказать, что $\Lambda^1(C^{\infty}(M))\neq\Lambda^1(M)$, где $M$ - гладкое многообразие.

[neo66]

Niclax в сообщении #379752 писал(а):

Должно быть верно. А нужно это затем, чтобы доказать, что $\Lambda^1(C^{\infty}(M))\neq\Lambda^1(M)$, где $M$ - гладкое многообразие.

Если я правильно понимаю $\Lambda^1(M)$ - это пространство 1-форм на многоообразии $M$. А $\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ это что за зверь?

[Niclax]

neo66 в сообщении #379760 писал(а):

Niclax в сообщении #379752 писал(а):

Должно быть верно. А нужно это затем, чтобы доказать, что $\Lambda^1(C^{\infty}(M))\neq\Lambda^1(M)$, где $M$ - гладкое многообразие.

Если я правильно понимаю $\Lambda^1(M)$ - это пространство 1-форм на многоообразии $M$. А $\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ это что за зверь?

$\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ - это пространство форм над алгеброй $C^{\infty}(M)$($\mathbb{R}$-алгеброй гладких функций на многообразии $M$), т.е. такой модуль над $C^{\infty}(M)$, что $\exists$ отображение $d: C^{\infty}(M)\to\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ такое, что $D=\phi(D)\circ d$, где $D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$
$P$ - модуль над $C^{\infty}(M)$, а $D(C^{\infty}(M),P)$ - дифференцирование алгебры $C^{\infty}(M)$ со значениями в модуле $P$( множество гомоморфизмов $h:C^{\infty}(M)\to P$, обладающих свойством $\mathbb{R}$-линейности и удовлетворяющих правилу Лейбница: $h(ab)=ah(b)+bh(a)$).

[neo66]

Что-то очень абстрактно и не очень понятно. Не вполне понятно, чем это отличается от "обычных" дифференциальных форм на многообразии.

[Niclax]

Если взять $P=C^{\infty}(M)$, то несложно построить такой изоморфизм
$D(C^{\infty}(M))\cong Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(M), C^{\infty}(M))$
В этом случае $d$ - обычный дифференциал функции.
Но для произвольного модуля это, видимо, не выполняется.

[moscwicz]

(Оффтоп)

горе от ума

[paha]

Niclax в сообщении #379741 писал(а):

Помогите доказать, что:

$de^x-e^xdx\neq0$

что такое $x$? Что такое $e^x$? Как я понял из дискуссии, Вы используете один и тот же символ $d$ для разных отображений... нехорошо:((( объясните
Левая часть в каком линеале живет?

-- Пт ноя 26, 2010 18:37:10 --

И глупый вопрос: можно ли переписать Ваше неравенство как

$$ e^x{\rm d}x\ne {\rm d}e^x? $$

[Niclax]

paha
Символ $d$ используется для обозначения только одного отображения(то, которое участвует в вышеприведенном определении), а $dx$ - это целостное обозначение, означающее базисный ковектор.

paha в сообщении #380820 писал(а):

И глупый вопрос: можно ли переписать Ваше неравенство как

$$ e^x{\rm d}x\ne {\rm d}e^x? $$

Да, можно.

[paha]

Niclax в сообщении #380828 писал(а):

$dx$ - это целостное обозначение, означающее базисный ковектор

базисный ковектор ГДЕ? на каком пространстве?

и что такое $e^x$?

если

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$d: C^{\infty}(M)\to\Lambda^1(C^{\infty}(M))$

то ${\rm d}e^x\in \Lambda^1(C^{\infty}(M))$?


как связаны $M$ и $x$? это что, $x:M\to\mathbb{R}$?

[Niclax]

paha в сообщении #380859 писал(а):

Niclax в сообщении #380828 писал(а):

$dx$ - это целостное обозначение, означающее базисный ковектор

базисный ковектор ГДЕ? на каком пространстве?

Ой, я жутко извиняюсь. $dx$ - это то же самое $d$ от функции $x$.

Цитата:

и что такое $e^x$?

В данном случае, у нас $M=\mathbb{R}$.

Цитата:

если

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$d: C^{\infty}(M)\to\Lambda^1(C^{\infty}(M))$

то ${\rm d}e^x\in \Lambda^1(C^{\infty}(M))$?

Получается, что так.

Итого имеем:

$e^x,x\in C^{\infty}(\mathbb{R}))$
$de^x,dx\in\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$

Поскольку $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$ - $ C^{\infty}(\mathbb{R})$-модуль, то выражение $e^xdx$ имеет смысл и принадлежит $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$.

[paha]

ну так вычислите значение этих форм на произвольном векторном поле на этом многообразии $C^{\infty}(\mathbb{R})$ и сравните

[Munin]

Нет. Надо сначала ещё вычислить их разность, а потом сравнить с нулём. Пардон, с нулевой формой. Которую тоже сначала надо найти. Кстати, я хотя и догадываюсь, что нуль - он нуль в любом базисе, но корректней было бы писать не $0,$ а $0\,dx,$ где $dx$ - базисный ковектор, в отличие от $dx$ по другую сторону знака равенства...

[paha]

Munin в сообщении #380986 писал(а):

Нет. Надо сначала ещё вычислить их разность, а потом сравнить с нулём. Пардон, с нулевой формой.

Нет))) С нулевым функционалом $C^{\infty}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$

-- Сб ноя 27, 2010 01:50:37 --

но можно и друг с другом:

Niclax в сообщении #380828 писал(а):

paha в сообщении #380820 писал(а):
И глупый вопрос: можно ли переписать Ваше неравенство как

$$ e^x{\rm d}x\ne {\rm d}e^x? $$

Да, можно.

-- Сб ноя 27, 2010 02:00:31 --

Niclax в сообщении #380939 писал(а):

Поскольку $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$ - $ C^{\infty}(\mathbb{R})$-модуль

вот это мне непонятно:)))
Если $F$ -- многообразие, то $\bigwedge^1(F)$ это $C^\infty(F)$-модуль... так что Ваш $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$ - $C^\infty( C^{\infty}(\mathbb{R}))$-модуль, разве нет?