1-формы

[Niclax]

paha
Каком векторном поле? У нас же дифференцирование в модуль!

Цитата:

Niclax в сообщении #380939 писал(а):

Поскольку $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$ - $ C^{\infty}(\mathbb{R})$-модуль

вот это мне непонятно:)))
Если $F$ -- многообразие, то $\bigwedge^1(F)$ это $C^\infty(F)$-модуль... так что Ваш $\Lambda^1(C^{\infty}(\mathbb{R}))$ - $C^\infty( C^{\infty}(\mathbb{R}))$-модуль, разве нет?

Нет, $\Lambda^1(A)$, где $A$ - алгебра, - модуль над $A$ по определению.

[paha]

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$D=\phi(D)\circ d$, где $D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$

Как пространство может быть равно композиции пространства и отображения?

-- Сб ноя 27, 2010 02:10:25 --

можно вот это место:

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ - это пространство форм над алгеброй $C^{\infty}(M)$($\mathbb{R}$-алгеброй гладких функций на многообразии $M$), т.е. такой модуль над $C^{\infty}(M)$, что $\exists$ отображение $d: C^{\infty}(M)\to\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ такое, что $D=\phi(D)\circ d$, где $D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$
$P$ - модуль над $C^{\infty}(M)$, а $D(C^{\infty}(M),P)$ - дифференцирование алгебры $C^{\infty}(M)$ со значениями в модуле $P$( множество гомоморфизмов $h:C^{\infty}(M)\to P$, обладающих свойством $\mathbb{R}$-линейности и удовлетворяющих правилу Лейбница: $h(ab)=ah(b)+bh(a)$).

почетче... "кто на ком стоял"?

[Niclax]

paha в сообщении #380994 писал(а):

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$D=\phi(D)\circ d$, где $D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$

Как пространство может быть равно композиции пространства и отображения?

Первое $D$ - это дифференцирование, а $D(C^{\infty}(M),P)$ - множество таких дифференцирований.

[paha]

начиная с первого $D$

-- Сб ноя 27, 2010 02:17:03 --

paha в сообщении #380994 писал(а):

$\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ - это такой $C^{\infty}(M)$-модуль для которого существует отображение $d: C^{\infty}(M)\to\Lambda^1(C^{\infty}(M))$, удовлетворяющее равенству $D=\phi(D)\circ d$ для любого (некоторого???) дифференцирования $D\in \mathcal{D}(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P)$
для любого $C^{\infty}(M)$-модуля $P$,

$\mathcal{D}(C^{\infty}(M),P)$ - дифференцирование алгебры $C^{\infty}(M)$ со значениями в модуле $P$ (множество гомоморфизмов $h:C^{\infty}(M)\to P$, обладающих свойством $\mathbb{R}$-линейности и удовлетворяющих правилу Лейбница: $h(ab)=ah(b)+bh(a)$).

-- Сб ноя 27, 2010 02:17:38 --

правильно подправил?

[Niclax]

Да, вроде все так.

[paha]

Вот это -- безобразно!

Новые объекты должны появляться с кванторами... а у вас два $D$ подряд и про первое не то, что кванторов -- неясно даже что за объект

Niclax в сообщении #380999 писал(а):

$D=\phi(D)\circ d$, где $D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$

-- Сб ноя 27, 2010 02:23:20 --

так правильно я выше подправил?

[Niclax]

Согласен. Писал, как писали на лекции, только вместо $C^{\infty}(M)$ была абстрактная алгебра.

Правильно, правильно.

[paha]

У Вас изоморфизм $\phi$ входит в определение

Niclax в сообщении #379879 писал(а):

$D(C^{\infty}(M),P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{C^{\infty}(M)}(\Lambda^1(C^{\infty}(M)), P) \quad \forall P$

он канонический?

Ведь фокус в том, что Вы $\Lambda^1(C^{\infty}(M))$ определяете через $\Lambda^1(C^{\infty}(M))$... мне трудно это понять

-- Сб ноя 27, 2010 02:37:28 --

Так... еще правки (уж больно эти $\infty$ глаза мозолят)

Пусть $A$ -- алгебра.
$\Lambda^1(A)$ - это такой $A$-модуль $M$ для которого существует отображение $d: A\to M$, удовлетворяющее равенству $D=\phi(D)\circ d$ для любого дифференцирования $D\in \mathcal{D}(A,P)\overset{\phi}{\cong}Hom_{A}(M, P)$ со значениями в произвольном $A$-модуле $P$.

Так осталось понять, что такое $\phi$

-- Сб ноя 27, 2010 02:45:18 --

Судя по определению,

$$ \phi(D)d(ab)=D(ab)=aD(b)+bD(a)=a\phi(D)d(b)+b\phi(D)d(a)=\phi(D)(ad(b)+bd(a)) $$

а отсюда следует, что $d$ -- дифференцирование... по модулю ядра отображения $\phi(D)$

[Niclax]

Цитата:

а про $d$ что известно, кроме того, что оно линейно над основным полем?

Вы имели ввиду $D$?

Про $\phi$ ничего не сказано. Я так понимаю, $d$ однозначно с точностью до изоморфизма.

Когда мы определяем $\Lambda^1(A)$, подразумевается, что оно существует. Иными словами, если существует пара $(\Lambda^1(A),d)$, удовлетворяющая условиям, то $\Lambda^1(A)$ называется пространством форм над $A$.

[paha]

paha в сообщении #381004 писал(а):

Так осталось понять, что такое $\phi$

Без этого -- не разобраться... уж больно загадочный изоморфизм

-- Сб ноя 27, 2010 03:09:28 --

и изоморфизм чего? $A$-модулей?

[Niclax]

paha в сообщении #381013 писал(а):

paha в сообщении #381004 писал(а):

Так осталось понять, что такое $\phi$

Без этого -- не разобраться... уж больно загадочный изоморфизм

-- Сб ноя 27, 2010 03:09:28 --

и изоморфизм чего? $A$-модулей?

Да. Может для каждого $\phi$ существует своё $d$?

[paha]

Niclax в сообщении #381073 писал(а):

Да. Может для каждого $\phi$ существует своё $d$?

я не понимаю, как можно построить хотя бы один изоморфизм "туда, не знаю куда": порочный круг -- мы определяем $\bigwedge^1(A)$ через него же

[Niclax]

paha в сообщении #381080 писал(а):

Niclax в сообщении #381073 писал(а):

Да. Может для каждого $\phi$ существует своё $d$?

я не понимаю, как можно построить хотя бы один изоморфизм "туда, не знаю куда": порочный круг -- мы определяем $\bigwedge^1(A)$ через него же

Не все, что существует, можно построить. Да и нужно ли?

[paha]

Niclax в сообщении #381228 писал(а):

Не все, что существует, можно построить. Да и нужно ли?

так что такое $\bigwedge^1(A)$?:))

[Niclax]

Ещё раз:

Определение. Пусть $A$ - алгебра, $D(A,P)$ - дифференцирование $A$ со значениями в $A$-модуле $P$
Пространством форм над алгеброй $A$ называется такой модуль, обозначаемый $\Lambda^1(A)$, что $\exists\ d:A\to \Lambda^1(A)$, при этом
$D(A,P)\overset{\phi}{\cong}Hom_A(\Lambda^1(A),A)$(существует изоморфизм) для любого модуля$P$ и $D=\phi(D)\circ d$.